Kurvendiskussion durchführen

12.03.2011, 18:41

Matheeumelinchen

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Kurvendiskussion durchführen

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
ich Eumel hab mal wieder zu spät mit dem Lernen angefangen und stehe nun etwas doof da.
Ich möchte euch bitten, mir bei einer Kurvendiskussion zu helfen, damit ich das mal von Vorn bis Hinten durchgemacht habe und darauf dann aufbauen kann^^
Gefragt sind:
1. Definitionsbereich
2. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
3. Symmetrieverhalten
4. Achsenschnittpunkte
5. Ableitungen
6. Extrempunkte
7. Monotonien
8. Wendepunkte
9. Krümmungsverhalten
10. Wertebereich

Gegeben ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:f(x)=3x^4-8x^3+6x^2;x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bis jetzt hab ich das hier:
1: $\begin{eqnarray*} Df=(-\infty;\infty) \end{eqnarray*}$

2: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)=\pm \infty \end{eqnarray*}$

3: Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^4-8x^3+6x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=3(-x)^4-8(-x)^3+6(-x)^2=3^4+8x^3+6x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(-x) \end{eqnarray*}$ q.e.d.

4: Schnittpunkt an der Ordinate
$\begin{eqnarray*} f(0)=3*0^4-8*0^3+6*0^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Sy(0|0) \end{eqnarray*}$
(Hier hab ich einfach für x Null eingesetzt, da ich ja schaue, wo die Funktion die X Achse schneidet, also x=0 ist. Ist das so immer richtig??)

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich die Funtion 0 setzen muss. Ich weiß nur nicht wie. Mir fällt nur substituieren ein, aber das geht ja nicht. Wär cool, wenn ihr mir hier helfen und mir sagen könntet, ob es bis hierhin schonmal passt.

12.03.2011, 18:48

Iorek

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RE: Kurvendiskussion durchführen

Zitat:

Original von Matheeumelinchen
(Hier hab ich einfach für x Null eingesetzt, da ich ja schaue, wo die Funktion die y Achse schneidet, also x=0 ist. Ist das so immer richtig??)

Für die Berechnung der Nullstellen bietet es sich an etwas auszuklammern und den Satz vom Nullprodukt zu verwenden.

Edit: Da habe ich meine anderen Anmerkungen gelöscht...

Das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs stimmt nicht, die Begründung für $\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(-x) \end{eqnarray*}$ ist unzureichend, Überprüfung einer möglichen Punktsymmetrie fehlt.

12.03.2011, 19:05

Matheeumelinchen

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Wo ist denn der Fehler im Definitionsbereich?? Und wieso ist die unzureichend?? Erstaunt2

Erstaunt2

Stimmt, Punktsymmetrie vergessen:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=3x^4+8x^3+6x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - f(x)=-(3x^4-8x^3+6x^2)=-3x^4+8x^3-6x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)\neq -f(x) \end{eqnarray*}$

Soweit ok???

Achja, das geht ja auch, und ich weiß ja schon, dass 0|0 ein Schnittpunkt ist.
Also:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^4-8x^3+6x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x(3x^3-8x^2+6x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3,4} =3x^3-8x^2+6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3,4} =x(3x^2-8x+6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =3x^2-8x+6 \end{eqnarray*}$

Jetzt pq-Formel
$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =-\frac{8}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{8}{2} \right)^2 - 6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =-4\pm \sqrt{\left(4\right)^2 - 6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =-4\pm \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3} =0,8377 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{4} =7,1623 \end{eqnarray*}$

Die Punkte kommen mir aber komisch vor... Ich raff das nie... traurig

traurig

12.03.2011, 19:11

Iorek

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Die pq-Formel ist nur dann zu verwenden, wenn der quadratische Ausdruck normiert ist, entweder normierst du oder du verwendest die abc- bzw. Mitternachtsformel.

12.03.2011, 19:18

Matheeumelinchen

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Normiert?? ABC/Mitternacht??? Hilfe... Tränen

Tränen

12.03.2011, 19:19

Iorek

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Du darfst die pq-Formel nur dann verwenden, wenn eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ vorliegt, d.h. vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ darf kein weiterer Faktor stehen.

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12.03.2011, 19:30

Matheeumelinchen

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Also einfach durch 3 teilen?

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =3x^2-8x+6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =x^2-\frac{8}{3} x+2 \end{eqnarray*}$

Jetzt pq-Formel
$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =-\frac{\frac{8}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\frac{8}{3}}{2} \right)^2 - 6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =\frac{4}{3}\pm \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4} =\frac{4}{3}\pm \sqrt{\frac{16}{9}- 2} \end{eqnarray*}$

Das geht aber nicht, da ich ja keine negative Wurzel ziehen kann unglücklich

unglücklich

Och menno...

12.03.2011, 19:35

Iorek

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Du meinst du kannst nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, richtig.

Gibt es also weitere Nullstellen?

12.03.2011, 19:41

Matheeumelinchen

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Ahhh, ok.

smile

Dann ist hier Schluss und es gibt keine Nullstellen mehr.
Einzige Nullstelle ist also $\begin{eqnarray*} Sx(0|0) \end{eqnarray*}$

Cool.^^ Danke!!! :* Voll nett von dir!

Dann weiter mit den Ableitungen.

5:
$\begin{eqnarray*} f'x=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''x=36x^2-48x+12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''x=72x-48 \end{eqnarray*}$

6: Extrempunkte
Die Potenz sagt mir, dass es bis zu drei Extrempunkte geben kann.
Die Funktion hat an diesen Punkten die Steigung Null, ich muss also die Ableitung gleich Null setzen.
$\begin{eqnarray*} f'x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 19:57

Matheeumelinchen

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$\begin{eqnarray*} 0=x(12x^2-24x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2,3=12x^2-24x+12 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2,3=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder pq-Formel

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} =-1\pm \sqrt{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} =-1 \end{eqnarray*}$

Hm, stimmt das???

12.03.2011, 20:27

Matheeumelinchen

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Keiner mehr, der mir helfen möchte??? Mist, ich schaff das doch nicht allein Tränen

Tränen

12.03.2011, 20:28

toni1401

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[quote]Original von Matheeumelinchen
$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x) \end{eqnarray*}$

Schau mal genau hin. Kannst du wirklich nur x ausklammern um zu vereinfachen? Wenn du alles richtig machst kommst du auf 12x * (x-1)^2

Deine Nullstelle ist leider nicht richtig. Achte auf das Vorzeichen !

12.03.2011, 20:33

Matheeumelinchen

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Zitat:

Original von toni1401

Schau mal genau hin. Kannst du wirklich nur x ausklammern um zu vereinfachen? Wenn du alles richtig machst kommst du auf 12x * (x-1)^2

Deine Nullstelle ist leider nicht richtig. Achte auf das Vorzeichen !

Ah, ich hab den Fehler:

$\begin{eqnarray*} x_2,3=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} =1\pm \sqrt{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} =1 \end{eqnarray*}$

Ich könnte natürlich auch durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ teilen.

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:x^2 \end{eqnarray*}$
Aber dann komm ich auf
$\begin{eqnarray*} 0=12x-24x+\left(\frac{12}{x}\right) \end{eqnarray*}$
???

12.03.2011, 20:38

toni1401

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nein leider nicht.

noch ein tipp: 12 * 2 = 24
12 * 1 = 12

Ein Beispiel:

f(x) = 4x^3 + 8x^2 + 2x

wenn man nun richtig ausklammert kommt man auf :

f(x) = 2x * (2x^2 + 4x + 1)

Ich hoffe es hilft smile

smile

12.03.2011, 20:40

Matheeumelinchen

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Ne, leider nicht unglücklich

unglücklich

Hm, also:

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$
??

12.03.2011, 20:42

toni1401

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Ein Beispiel:

f(x) = 4x^3 + 8x^2 + 2x

wenn man nun richtig ausklammert kommt man auf :

f(x) = 2x * (2x^2 + 4x + 1)

12.03.2011, 20:51

Matheeumelinchen

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Hm, also:

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$
??

12.03.2011, 21:02

toni1401

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Zitat:

Original von Matheeumelinchen
Hm, also:

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$
??

Du darfst nicht einfach durch 12x teilen. Durch Summen teilen nur die ... Big Laugh

Big Laugh

Klammer anstelle dessen 12x aus - So wie ich es im beispiel mit 2x getan habe!

12.03.2011, 21:13

Matheeumelinchen

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Ahh, jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x(x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$
So richtig?
Dann wieder $\begin{eqnarray*} x_{1} =0 \end{eqnarray*}$
und mit pq $\begin{eqnarray*} x_{2,3} =1 \end{eqnarray*}$

??

12.03.2011, 21:18

toni1401

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Zitat:

Original von Matheeumelinchen
Ahh, jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 0=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x(x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$
So richtig?
Dann wieder $\begin{eqnarray*} x_{1} =0 \end{eqnarray*}$
und mit pq $\begin{eqnarray*} x_{2,3} =1 \end{eqnarray*}$

??

Sehr gut, aber du kannst die PQ-Formel auch umgehen mithilfe der binomischen formeln / quadratische ergänzung . Fällt dit was zu (x^2 - 2x + 1) ein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

hab dir mal zur belohnung f'(x) geplotet damit du auch eine vorstellung davon hast was du da ausrechnest!

[attach]18614[/attach]

12.03.2011, 21:23

toni1401

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noch ein kleiner tipp zur binomischen formel:

(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^2

12.03.2011, 21:35

Matheeumelinchen

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Zitat:

Original von toni1401
Sehr gut, aber du kannst die PQ-Formel auch umgehen mithilfe der binomischen formeln / quadratische ergänzung . Fällt dit was zu (x^2 - 2x + 1) ein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (x^2 - 2x + 1)=x^2-2*x*1+1^2=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$
??

12.03.2011, 21:44

toni1401

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$\begin{eqnarray*} (x^2 - 2x + 1)=x^2-2*x*1+1^2=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

perfekt. jetzt hast du f'(x) = 12x (x-1)^2 und kannst ohne PQ-Formel oder sonstiges die Nullstellen x=0 und x=1 ablesen. Das sind nun deine Extremstellen, an denen der Graph entweder einen Hoch-/Tief- oder Sattelpunkt hat. Das Überprüfst du indem du
f '' (x)=0 setzt.

Bin kurz einkaufen, bin ich 20 Minuten wieder da. Probier schonmal etwas rum smile

smile

bis gleich

12.03.2011, 22:15

Matheeumelinchen

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OK, super, vielen Dank, dass du mir hilfst!!!!! Mit Zunge

Mit Zunge

Also, bis jetzt weiß ich, dass an x1,2,3 irgendetwas ist, weil dort die Steigung =0 ist.
Ich weiß aber nicht, ob es sich bei den Punkten um Hoch, Tief, oder Wendepunkte handelt. Um das rauszukriegen muss ich die x Werte in f''(x) einsetzen. Wenn sie
>0 \Rightarrow Tiefpunkt
<0 \Rightarrow Hochpunkt
=0 \Rightarrow Wendepunkt

$\begin{eqnarray*} f''(0)=36*0^2-48*0+12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0)=12>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow TP \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1)=36*1^2-48*1+12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1)=36-48+12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1)=0\Rightarrow WP \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 23:15

Matheeumelinchen

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Doch nicht mehr da????
Ich brauch doch Hilfe traurig

traurig

12.03.2011, 23:17

Brinker1111

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wo hapert es
was musst du machen???

12.03.2011, 23:33

Matheeumelinchen

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Hi, und danke smile

smile

mir fehlt noch das Krümmungsverhalten. Da hab ich grad nichtmal einen Ansatz.

12.03.2011, 23:36

Brinker1111

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meinst du den wendepunkt

12.03.2011, 23:39

Matheeumelinchen

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Ne, gefragt ist, wo die Funktion rechts, und wo linksgekrümt ist.

12.03.2011, 23:41

Brinker1111

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ja dann musst du die wendepunkte berechnen

weißt du wie man das macht???

12.03.2011, 23:55

Matheeumelinchen

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Dann hab ich das ja oben schon gemacht. x1=(0|0)=TP, x2=(1|1)=WP

13.03.2011, 00:02

Brinker1111

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fertig

ist aber ein sattelpunkt

13.03.2011, 00:03

Matheeumelinchen

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woran erkenne ich denn das?

13.03.2011, 00:05

Brinker1111

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ein sattelpunkt hat die eigenschaft das da die steigung gleich null ist

also wenn du einen extremwert und eine wendestelle an dem selbem punkt hast
dann ist es ein sattelpunkt

13.03.2011, 00:17

Matheeumelinchen

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ah, ok. Cool, danke. Mit dem Rest werd ich mich morgen beschäftigen. ist zu spät jetzt, kann mich nicht mehr konzentrieren.
Vielen Dank für die tolle Hilfe!!!! Schlaft gut.

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