Wendestelle berechnen

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mahema Auf diesen Beitrag antworten »
Wendestelle berechnen
Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand bitte vorrechnen, wie man die Wendestelle der Funktion

f(x)= 3x^3 + x^2

berechnet?

Danke schonmal

Meine Ideen:
Um die Wendestelle zu berechnen, habe ich in die zweite Ableitung der Funktion für x 0 eingesetzt:

f''(0)= 18*0+2= 2

Also müsste die Wendestelle bei 2 liegen. Wenn ich mir den Graphen jedoch bei Geogebra ("Funktionsgraphen erstellen" hier im Form funktioniert leider nicht) ansehe, scheint meine Lösung falsch zu sein.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendestelle berechnen
Ffür die Wendestelle solltest du f ''(x) = 0 setzen und x berechen, nicht f ''(0) berechnen. Augenzwinkern
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst:


So, bestimme dann doch erst mal die erste, zweite und dritte Ableitung. Weiterhin: Um Kandidaten für eine Wendestelle zu finden, darfst du nicht 0 einsetzen, sondern musst die zweite Ableitung gleich 0 setzen, also f''(x) = 0 betrachten.

Edit: Ich übergebe an die Katze. Augenzwinkern
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal.

Also, hier die 1.-3. Ableitung

f'(x)= 9x^2+2x
f''(x)= 18x+2
f'''(x)=18


Dann f''(x)=0 setzen:

0=18x+2 | -2
-2=18x | /18
-2/18=x

Ist bis hier hin alles korrekt? Ist x jetzt schon die Wendestelle, oder muss ich noch etwas berechnen?

Danke
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst noch kürzen, ansonsten ist alles richtig. Freude

Allerdings kann x ja kein Wendepunkt sein, es fehlt dazu noch die y-Koordinate. Weißt du, wie du sie erhältst? smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

um y zu berechnen muss man glaube ich so vorgehen:

y=3x^3+x^2
y=3*(-1/9)^2+(-1/9)^2
y=0,008

Der Wendepunkt müsste also (-1/9 | 0,008) sein.

Stimmt das?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Freude

Genaugenommen ist die y-Koordinate 2/243. Augenzwinkern

Hier ist der Graph von Cel, nochmal ein bisschen rangezoomt:


smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Jetzt würde ich noch gerne überprüfen, ob ich die Extremstellen dieser Funktion richtig bestimmt habe.

Also:

f(x)= 3x^3 + x^2
f'(x)= 9x^2+2x

1. Ableitung f'(x)=0 setzen:

0=9x^2+2x
0=9x(x+2)

Eine Extremstelle wäre x1=0 (für 9x)

0=x+2 | -2
-2=x

Die zweite Extremstelle müsste also x2=-2 sein.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mahema
0=9x^2+2x
0=9x(x+2)


Du hast hier 9x ausgeklammert, das geht aber so nicht, da die 9 kein gemeinsamer Faktor von 9x² und 2x ist. Augenzwinkern

Daher ist die zweite Nullstelle leider nicht richtig.
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist beim ausklammern ein Fehler unterlaufen. Du solltest nur x ausklammern und nich 9x.

Die erste Nullstelle ist bei dir wohl richtig, aber die 2. wird dadurch fehlerhaft. Siehst du ja auch am Graphen, da die Extremstelle nicht bei -2 ist. =)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@Colt
Warum wiederholst du, was ich bereits gesagt habe? verwirrt

Abgesehen davon: Ich komme schon ganz gut alleine zurecht, wenn ich deine Hilfe brauche, melde ich mich.
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ok:

x(9x+2)=0

9x+2=0 |-2
9x= -2 |/9
x = -2/9

Die zweite Extremstelle ist also -2/9.

Danke nochmal für die Hilfe! Freude
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur die x-Koordinate der zweiten Extremstelle. Augenzwinkern
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

Wie kann ich nun y rausbekommen? Muss ich den x-Wert in die normale Funktion oder in die 1. Ableitung einsetzen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Extremwert auf dem Graphen der Funktion liegt, musst du dein gefundenes x in f(x) einsetzen. smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

y= 3*(-2/9)^3+(-2/9)^2
y=0,016

Nun müsste ich alles berechnet haben.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung stimmt Freude , genauer ist 4/243.

Die Koordinaten für den anderen Extremwert brauchst du nicht groß zu errechnen. Augenzwinkern
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh Der andere Extremwert für y müsste dann 0 sein.

Nochmal Danke für die Hilfe! Freude
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Das Minimum liegt im Ursprung.

Wenn du jetzt noch die x-Werte der Extrema in die zweite Ableitung der Funktion einsetzt, kannst du bestimmen, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

f''(x)= 18x+2

x1=0 ; x2= -2/9

f''(0)= 18*0+2= 2 2>0 -> lokales Minimum
f''(-2/9)= 18*(-2/9)+2= -2 -2<0 -> lokales Maximum


Ist die Rechnung richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es stimmt alles. Freude
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt würde ich noch gerne das Monotonieverhalten der Funktion untersuchen.

Ich fange mit dem Extremwert x1=0 an und nehme als Werte aus der Umgebung 1 und -1:

f'(-1)= 9*(-1)^2+2*(-1) = 7
f'(1)= 9*1^2+2*1= 11

Was bedeutet das nun für die Monotonie? Ist sie an dieser Stelle monoton steigend, weil beide Werte >0 sind?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Wahl der untersuchten Werte ist zu grob, denn du hast doch gesehen, dass sich die Veränderungen in einem kleineren Bereich abspielen.
Hier noch einmal die Grafik, sie hilft dir, passendere x-Werte auszusuchen.



Ich muss leider erst einmal off gehen. Hier ein Link, der dir vielleicht auch helfen kann: Klick.

Bis später. Wink

smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

ich nehme für x1=0 die Werte -1/9 und +1/9:

f'(-1/9) = 9*(-1/9)^2+2*(-1/9) = -1/9 -> für -2/9<x<0 ist f'(x)<0 monoton fallend
f'(1/9) = 9*(1/9)^2+2*(1/9) = 1/3 -> für x>0 ist f'(x)>0 monoton wachsend

Jetzt das ganze noch für die Extremstelle x2= -2/9:

ein Wert kleiner als -2/9

f'(-3/9)= 9*(-3/9)^2+2*(-3/9) = 1/3 -> für x<-2/9 ist f'(x)>0 monoton wachsend

Wenn ich mir den Graphen anschaue, müsste es stimmen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so stimmt es. Freude

Wenn man wie hier zwei Extrema und den WP dazwischen gefunden hat, ist es sinnvoll, den x-Wert des WP zur Untersuchung des Monotonieverhaltens heranzuziehen. smile
mahema Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank nochmal! Freude Wink
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