Vektoraufgabe: Schnitt zweier Geraden

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Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoraufgabe: Schnitt zweier Geraden
Hallo Zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Unser Lehrer bringt eine Aufgabe in der Klassenarbeit, welche viele Zusatzpunkte gibt (1-2 Noten besser). Das Problem dabei ist, dass wir dieses Thema nur kurz durchgenommen haben. Das Thema steht meines Wissens auch nicht auf dem Bildungsplan der Realschule Baden-Württemberg (Klasse 10).Deshalb gibt es auch „nur“ Zusatzpunkte. Die anderen Aufgaben müsste ich eigentlich lösen aber dennoch hätte ich gerne eine Absicherung.

So jetzt aber zum Eigentlichen. Also diese Aufgabe hier unten ist genau dieselbe wie die, welche in der Arbeit kommen wird, nur mit anderen Zahlen bzw. Werten. Leider verstehe ich nur Bahnhof und Abfahrtunglücklich .

Da mir meine Mathe Note recht wichtig ist, würde ich die Aufgabe in der Arbeit wahnsinnig gerne lösen. Ich denke ich würde diese auch lösen, wenn ich die untere gelöst bekomme.

Es wäre unglaublich nett, wenn mir jemand zeigen könnte wie man diese Aufgabe löst. Am besten auch Schritt für Schritt.

Wir schreiben die Arbeit am Montag, denn 14.03.2011. Aufgrund dessen, hoffe ich auf eine rechtzeitige Antwort.

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.

Die Aufgabe sowie die Formeln, die zur Verfügung stehen befinden sich im Anhang.

Mit freundlichen Grüßen.

Schüler der Realschule Augenzwinkern
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoraufgabe: Schnitt zweier Geraden
Es geht eigentlich um diese zwei Fragen:
Wie lautet der Schnittpunkt von g1 mit der y-Achse? Denn dieser Punkt wird für den Stützvektor verwendet.

Wie lautet der Richtungsvektor von g1? Da die Berechnung in einem 3D-Koordinatensystem verlangt wird, Deine Gerade aber in der xy-Ebene liegt, gilt bei den Vektoren: z = 0.

Die allgemeine Form der Geradengleichung hast Du ja in der Angabe notiert: y = m·x + b

Deine Gerade lautet: y = 2·x + 3, also hast Du m und b gegeben.

Ist das verständlich, bzw. wo hakt es?
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort smile ,

Also um den Schnittpunkt von g1 mit der y-Achse herauszubekommen muss man, so viel ich weiß, y gleich null setzen.

In etwa so: 0=2x+3

x=-1,5 Also ist das der Stützvektor !?

Für was braucht man den Stützvektor?

Und der Richtungsvektor berechnet man indem man Endpunkt minus Anfangspunkt rechnet oder ?

Wie bekomme ich jetzt den Anfangspunkt bzw. Endpunkt von g1, oder wie kann man den Richtungsvektor noch berechnen?

Bei g2 habe ich 2 Punkte gegeben, welche auf der Geraden liegen. Normalerweise würde ich jetzt die 2 Punkteform andwenden oder ein lgs lösen, um die Steigung herauszubekommen und dann einfach wieder ein Punkt einsetzen um b zubekommen.

Aber wie mache ich das wenn plötzlich 3 Werte (xyz) habe?

Ich weiß Fragen über Fragen . Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Achja die Lösungen die bei der Aufgabenstellung stehen sind nicht von mir, sondern unser Lehrer hat sie uns noch dazu gegeben Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal!

Gruß Schüler der Realschule
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mumantei
Also um den Schnittpunkt von g1 mit der y-Achse herauszubekommen muss man, so viel ich weiß, y gleich null setzen.

In etwa so: 0=2x+3

Nein, da verwechselst Du etwas; so kommst Du auf die Nullstellen einer Funktion. (Aber merk Dir die Methode, das Thema Nullstellen kommt sicher noch.)

Du brauchst ja den Schnittpunkt mit der y-Achse, und den bekommst Du, indem Du x auf 0 setzt.

Der Stützvektor definiert einen Punkt, an dem die Gerade sozusagen "befestigt" ist, also ein Punkt, durch den die Gerade ganz sicher geht.

Zitat:
Wie bekomme ich jetzt den Anfangspunkt bzw. Endpunkt von g1, oder wie kann man den Richtungsvektor noch berechnen?

1) Du kannst ja schnell zwei Punkte auf der Geraden berechnen, nimm am besten für x einmal 0 und einmal 1.

2) Du wirst sehen, dass der Richtungsvektor die allgemeine Form: hat. (Statt m wird oft auch k verwendet.)

Und was die z-Koordinate betrifft, habe ich schon drauf hingewiesen, dass sie in diesem Fall 0 ist.
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also wenn ich x=0 setze dann bekomme ich diesen Punkt (0/3)

So jetzt habe ich den Stützvektor.

Um noch weiter Punkte der Geraden zubekommen habe ich nun x=1 und x=2 gesetzt.

x=1 -> (1/5)

x=2 -> (2/7)


Also ist der Richtungsvektor (1/2/0) ?!

Und nun wie gehts weiter ?

Stimmt das soweit? OX= (0/3/0)+ Lambda * (1/2/0)

Was muss ich jetzt mit Lambda machen, bzw. woher weiß ich welchen Wert ich da einsetzen muss?


Sorry aber ich habe echt keinen Plan das geht unglücklich
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, alles richtig so weit. Freude

Und die erste Aufgabe hast Du damit gelöst, denn das ist die Parametergleichung für diese Gerade in der xy-Ebene: y = 2·x + 3.

Indem Du für beliebige Werte einsetzt - meist lässt man Zahlen aus dem Bereich der reellen Zahlen zu -, bekommst Du eine Menge von Punkten, die alle auf einer Geraden liegen. Damit kannst Du bei Gelegenheit mal herumexperimentieren.

Nächster Punkt der Aufgabe: Für die Gerade g2 hast Du zwei Punkte gegeben. Wie man daraus eine Geradengleichung erstellt, weißt Du jetzt ja schon. Also Richtiungsvektor berechnen, und einen der beiden Punkte für den Stützvektor nehmen.
 
 
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

danke für die sehr hilfreiche Antwort.

Ich glaube und hoffe das ich es nun etwas kapiere.

Kann es sein das die Geradengleichung von g2 wie folgt aussieht?:

g:x= (8/27/5) + Lambda*(-2/4/5)

g:x= (Ortsvektor) + Lambda*(Richtungsvektor)

oder ?

So nun wie muss ich jetzt vorgehen?

Nun brauche ich den Schnittpunkt von g1 und g2.

Also bei anderen Aufgaben bedeutet das gleichsetzen. Aber ist das hier auch der Fall?

Wenn ja wie genau mach ich das mit den Geradengleichungen hier oben?

Danke im vorraus smile

Gruß Mumantei
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenfalls richtig gerechnet. Ich stelle die zwei Geraden mal mit latex dar - sehr empfehlenswert bei Vektorendarstellung - , da wird die Sache anschaulicher.





Da der Schnittpunkt (der Ortsvektor auf diesen) beide Gleichungen erfüllen muss, kann man die beiden rechten Seiten gleichsetzen. Es ergeben sich drei Gleichungen, die den "eilen" der Parameterdarstellung entsprechen.

0 + s = 8 - 2t
3 + 2s = 27 + 4t
0 + 0 = 5 + 5t

Das ist relativ leicht zu lösen.
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

so habe es nun hinbekommen:

Nun ist es ja Realschulstoff, einfach das LGS lösen.

Da bin ich fit drin, hoffe ich doch zumindestsmile

also, da in der 1. Gleichung ja schon s=8-2t

kann ich das s einfach in das s der 2. Gleichung einfügen.

3+2(8-2t)=27+4t

So das nach t auflösen und es kommt folgendes heraus t=-1

Das setzte ich nun wieder in eine der Gleichungen und habe nun folgendes heraus. s=10

Dann habe ich gerechnet 0+ (10mal1)
3+(10mal2)
0+ (10mal0)

und das Ergebniss lautet: (10/23/0)

So nun komme ich zum Schnittwinkel.

Ich versuche das mal selbst falls ich fragen habe werde ich sie sofort posten.

Und nochmals viele Dank an Gualtiero. Ohne sie wär ich nie soweit gekommensmile !


Gruß Mumantei
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist OK, frag einfach, wenn es notwendig ist. Freude

Übrigens ist hier im Board allgemein das "Du" üblich, brauchst Dich nicht zu scheuen.
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles karsmile

So den Schnittwinkel habe ich herausbekommen.

Mit dem Skalarprodukt!? Nennt man das so?

Aber egal, auf jedenfall habe ich den Winkel herausbekommen in dem ich beim Zähler die beiden Richtungsvektoren multipliziert habe und beim Nenner den Betrag (Satz des Pythagoras) von den beiden multipliziert habe.

Und zum Schluss noch cos hoch minus 1 Big Laugh , sorry aber weiß nit wie die Latex-Schreibweise funktioniert.

So jetzt noch zur letzten Aufgabe.

Und zwar:

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E, in der die beiden Geraden g1 und g2 liegen. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss. Auch mit den Formeln komme ich nicht weiter.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

Gruß Mumantei
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Skalarprodukt ist die richtige Idee. Freude

Für die Ebene gehe am besten auch von der Parametergleichung aus. Sie ist dem einer Geraden ähnlich, nur hat sie einen zweiten Richtungs- oder Spannvektor.

Also: Für den Stützvektor brauchst Du einen Punkt, der sicher in der Ebene enthalten ist --> da kämen entweder die beiden Punkte für die Stützvektoren bei den Geraden in Frage oder der Schnittpunkt der Geraden. Als Spannvektoren kannst Du die Richtungsvektoren der Geraden nehmen.

zu latex: das wirst Du mit der Zeit schon lernen. Du kannst z. B. bei jedem beliebigen Beitrag auf "zitat" klicken und siehst so den Quellcode der latex-Formeln. Das ist eine gute Hilfe.
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

okay, hmm.... so ganz kapier ich das nicht.

ich komme einfach nicht auf das Ergebniss unglücklich

Meinst du könntest mir das mal Vorrechnen bzw. genauer zeigen?


Gruß Mumantei
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt noch nicht die gesuchte Koordinatenform! Diese gewinnst Du erst durch Umformung aus der Parameterform.
Wie weit bist Du gekommen mit meinen Ansätzen?
Mumantei Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber muss ins Bett, werde dir morgen schreiben wie weit ich kam.

Das meiste kann ich nun, bin gerade nochmal alles durchgegangen. Wird morgen schon klappensmile

Vielen Dank nochmal.

Bis morgen!

Gruß Mumantei
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann gute Nacht und viel Glück für morgen. Wink
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