Beweise für Teilbarkeitsrelationen

13.03.2011, 01:01

Mathemad

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Beweise für Teilbarkeitsrelationen

Hallo,

ich habe hier zu zwei Aufgaben eine Frage, wo ich mir nicht sicher bin, dass ich sie richtig gemacht habe.

Also ich soll beweisen, dass a) $\begin{eqnarray*} 1| a , \forall a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

und

b) $\begin{eqnarray*} a| a , \forall a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

muss ich nicht nur ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ einsetzten, so dass

bei a) z.B. $\begin{eqnarray*} q \cdot 1| a \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 01:10

zweiundvierzig

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RE: Beweise für Teilbarkeitsrelationen

Zitat:

Original von Mathemad
muss ich nicht nur ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ einsetzten, so dass

bei a) z.B. $\begin{eqnarray*} q \cdot 1| a \end{eqnarray*}$

Worauf willst Du damit konkret hinaus?

Du musst an irgendeiner Stelle die Teilbarkeitsrelation ins Spiel bringen:
Man sagt $\begin{eqnarray*} a | b \end{eqnarray*}$ , wenn ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} b = ca \end{eqnarray*}$ .

Was gilt denn für beliebige $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , woraus die behauptete Aussage (a) unmittelbar folgt? Aufgabe (b) hat man damit übrigens auch schon gelöst.

13.03.2011, 17:10

Mathemad

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RE: Beweise für Teilbarkeitsrelationen
konkret heisst es ja, wenn es midestens ein q existiert so ist 1 teiler von a

allg.: $\begin{eqnarray*} q \cdot a = b \end{eqnarray*}$ uns somit $\begin{eqnarray*} a | b \end{eqnarray*}$

also eigentlich das, was du geschreiben hast.

q = Quotient, also dein c

13.03.2011, 17:15

zweiundvierzig

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Gut, und wie sieht jetzt konkret eine solche Produktdarstellung aus, die (a) beweist?

13.03.2011, 17:24

Mathemad

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$\begin{eqnarray*} 1\cdot a = a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 17:38

zweiundvierzig

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Richtig. Und (b) sollte Dir damit auch leicht fallen. Tanzen

Tanzen

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13.03.2011, 18:03

Mathemad

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Freude

eigentlich auch $\begin{eqnarray*} 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 18:07

zweiundvierzig

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Ja, richtig. smile

smile

Letztlich ist es mechanisches Abgleichen mit der Definition.

13.03.2011, 18:09

Mathemad

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vielen dank Freude

Freude

, du hast mir super zur seite gestanden. Gott

Gott

13.03.2011, 19:05

Mathemad

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ich bin ir bei folgender aufgabe nicht sicher.

Beweisen oder widerlegen sie (durch ein gegenbsp.), dass $\begin{eqnarray*} \forall a, b, c \in \mathbb N gilt: \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} a| b \wedge a| c \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a^{2} | b \cdot c \wedge a| b\cdot c \end{eqnarray*}$

Aus meinen erkenntnissen folgt aus $\begin{eqnarray*} q _{1} \cdot a = b \wedge q _{2} \cdot a = c \Rightarrow \left(q _{1} \cdot a\right) \cdot \left(q _{2} \cdot a\right) = b \cdot c \Rightarrow \left(q _{1} \cdot q _{2}\right) \cdot \left( a\cdot a\right) = b \cdot c \Rightarrow a^{2} | b \cdot c \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 19:54

Math1986

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Zitat:

Original von Mathemad
Aus meinen erkenntnissen folgt aus $\begin{eqnarray*} q _{1} \cdot a = b \wedge q _{2} \cdot a = c \Rightarrow \left(q _{1} \cdot a\right) \cdot \left(q _{2} \cdot a\right) = b \cdot c \Rightarrow \left(q _{1} \cdot q _{2}\right) \cdot \left( a\cdot a\right) = b \cdot c \Rightarrow a^{2} | b \cdot c \end{eqnarray*}$

Das ist richtig..es ist noch $\begin{eqnarray*} a\mid b\cdot c \end{eqnarray*}$ zu zeigen, was nun aber nicht mehr schwer ist

13.03.2011, 22:05

Mathemad

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da bin ich leider ins grübeln gekommen. Wenn ich jetz die wurzel ziehe bekomme ich zwar a = (aber) $\begin{eqnarray*} \sqrt{b\cdot c} \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 22:44

zweiundvierzig

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Nein, im allgemeinen stimmt das nicht.

Du weißt bereits $\begin{eqnarray*} a^2 | bc \end{eqnarray*}$ und willst $\begin{eqnarray*} a | bc \end{eqnarray*}$ zeigen. Überleg' doch mal, welche der beiden Aussagen allgemein überhaupt stärker ist.

13.03.2011, 22:45

Mathemad

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Zitat:

Original von Mathemad
da bin ich leider ins grübeln gekommen. Wenn ich jetz die wurzel ziehe bekomme ich zwar a = (aber) $\begin{eqnarray*} \sqrt{b\cdot c} \end{eqnarray*}$

hmm habe vielleicht die Lösung:

Muss nur a umstellen:
$\begin{eqnarray*} a (\cdot q_{1} \cdot q_{2})\cdot a = b \cdot c \Rightarrow a = b\cdot c \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 22:49

zweiundvierzig

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Sicher, dass bei der gefolgerten Aussage ein "=" stehen soll? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2011, 22:56

Mathemad

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ääääh nö

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a| b\cdot c \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 23:02

zweiundvierzig

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Freude

13.03.2011, 23:05

Mathemad

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also ihr seit hier echt super nett und hilfsbereit Tanzen

Tanzen

und man bekommt ja richtig lust dazu

vielen vielen dank Wink

Wink

13.03.2011, 23:18

zweiundvierzig

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Immer wieder gerne. smile

smile

Das Gebiet ist auch sehr nett, zumal es auch noch sehr interessante Aufgaben gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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