(Prinz) Eisenstein

13.03.2011, 02:53

tigerbine

(Prinz) Eisenstein

Ich möchte das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein anwenden. Polynom ist:

$\begin{eqnarray*} P = 8X^3-6X-1 \end{eqnarray*}$

Wieso darf ich statt dessen betrachten

$\begin{eqnarray*} P(\frac{X+1}{2})=X^3+3X^2-3 \end{eqnarray*}$

[stammt aus dem Beweis, dass man 60° nicht mit Zirkel und Lineal teilen kann]

13.03.2011, 04:00

pseudo-nym

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Wenn mich nicht alles täuscht, erhält man aus einer Zerlegung von $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} P(\frac{X+1}{2}) \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

13.03.2011, 07:48

jester.

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Das hatte ich letztes Semester mal als Übungsaufgabe, hier die vollständige Formulierung:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein faktorieller Ring und $\begin{eqnarray*} \varphi ~:~ R[X] \to R[X] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Algebrenmorphismus. Zeigen Sie:

(a) Es existiert ein $\begin{eqnarray*} g\in R[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(f(X))=f(g(X)) ~\forall ~ f \in R[X] \end{eqnarray*}$

(b) Es ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} g(X)=aX+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in R^* , ~b \in R \end{eqnarray*}$ .

(c) Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus, so gilt
$\begin{eqnarray*} f \in R[X] \text{ irreduzibel } \Leftrightarrow \varphi(f) \text{ irreduzibel } \end{eqnarray*}$

(d) Zeigen Sie damit, dass $\begin{eqnarray*} X^2+X+2 \in \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

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