höchstens n Nullstellen - Beweis

13.03.2011, 11:38	pipapo	Auf diesen Beitrag antworten »
höchstens n Nullstellen - Beweis Meine Frage: Bei der Nullstellenberechnung gilt der Satz: Eine ganzrationale Funktion mit dem Grad n hat höchstens n Nullstellen. Das ist ja auch logisch. Aber wie Beweise ich das mathematisch? Meine Ideen: Man spaltet ja nach und nach Linarfaktoren ab und bekommt so die Nullstellen. Dabei verringert sich der Grad immer um eins. Wenn man am Anfang ein Polynom nten Grades hat, kann man n Nullstellen bekommen, aber nicht mehr, weil man dann keine Linearfaktoren abspalten kann?! Lieben Gruß
13.03.2011, 11:46	Flügelflitzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Deine Ideen sind schon sehr gut. Du musst das ganze jetzt nur mehr mathematisch formulieren. Wenn du hast $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} = 0 \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} p(x)=0 \end{eqnarray}$ Und nun kommt dein Argument, das richtig ist. Versuche das jetzt fertig zu formulieren und überlege dir noch, was passiert, wenn $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ die Nullfunktion ist (dann stimmt die Behauptung nämlich nicht) und warum in der Behauptung von höchstens n Nullstellen und nicht genau n Nullstellen gesprochen wird. Ich sag dann obs passt.
13.03.2011, 16:59	pipapo	Auf diesen Beitrag antworten »
nullstellen Erstmal zu dem höchstens: das liegt daran, dass eine Nullstelle öfters aufkommen kann. Bsp: ....(x-1)(x-1)... ansonsten bin ich im Moment ehrlich gesagt ein wenig überfordert ;-) Lieben Gruß
13.03.2011, 20:00	Flügelflitzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast wie gesagt ein Polynom, dass null sein soll. $\begin{eqnarray} p(x)=0 \end{eqnarray}$ Du spaltest das Polynom nun in Linearfaktoren auf, also ( $\begin{eqnarray} x-x_1)\cdot \ldots \cdot (x-x_n)=p(x)=0 \end{eqnarray}$ wobei dir $\begin{eqnarray} x_1,\ldots, x_n \end{eqnarray}$ die Nullstellen sind. Wenn, wie du sagst, eine Nullstelle öfters vorkommt, dann zählt man sie auch öfters, das heißt $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ hat zum Beispiel eine zweifache Nullstelle bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Das hat also mit dem höchstens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nichts zu tun. Aber: Kann man ein Polynom immer in Linearfaktoren aufteilen? Bzw. kannst du mir ein Polynom nennen mit Grad $\begin{eqnarray} \ge 2 \end{eqnarray}$ , das aber nicht in Linearfaktoren zerfällt?

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