Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit Parameter
Neue Frage »

13.03.2011, 16:46 niko_graz Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit Parameter
Meine Frage:
Hallo! Hier ein Beispiel:

"Gegeben ist die Matrix
A=

Für welche Werte von t ist A diagonalisierbar?"



Meine Ideen:
Also, aus dem Skript ergibt sich: Wenn algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit dann ist die Matrix diagonalisierbar.

Nach berrechnung der Eigenwerte, ergeben sich 3 Fälle:

1) Fall: für t=2, Eigenwerte -3, -3, 3. Da in diesem Fall symmetrisch, weiß ich sofort dass sie auch diagonalisierbar ist.

2) Fall: für t=-2,5, Eigenwerte 0, 0, -3. Für EW -3 wäre die Bedingung erfüllt, aber für EW 0 nicht, da algebr. Vielf. = 2, aber geometr. Vielf. = 1, also nicht diagonalisierbar.

3) Fall: für t>-2,5; ungleich 2; Eigenwerte -3, x, -x
Hier weiß ich nicht weiter?? Wie überprüfe ich dies allgemein wenn ich keine in Zahlen gegebenen Eigenwerte habe.

Stimmt mein 1. Fall und 2. Fall?? Oder soll ich meine Fälle anders aufstellen??

Danke für eine baldige Antwort,
Mfg
13.03.2011, 18:31 chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst musst du natürlich die Eigenwerte betrachten. Dies geschieht in Abhängigkeit von t:



Du hast also für drei verschiedene Eigenwerte. Was folgt daraus?
16.03.2011, 11:46 niko_graz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Also zunächst musst du natürlich die Eigenwerte betrachten. Dies geschieht in Abhängigkeit von t:



Du hast also für drei verschiedene Eigenwerte. Was folgt daraus?


Dass die algebraische Vielfachheit aller 3 EW 1 ist und dann müssten auch die Dimensionen der 3 EV 1 sein, richtig??

Oder folgt daraus noch etwas??

Danke für die antwort!!
Mfg
16.03.2011, 11:53 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von niko_graz
Dass die algebraische Vielfachheit aller 3 EW 1 ist und dann müssten auch die Dimensionen der 3 EV 1 sein, richtig??

Genau genommen die Dimension der Eigenräume.

Zitat:
Original von niko_graz
Oder folgt daraus noch etwas??

Daß dann eben die Matrix diagonalisierbar ist. Augenzwinkern

Abgesehen von t=-2,5 ist für t=2 ein Eigenwert doppelt. Lehrer
16.03.2011, 12:01 niko_graz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von niko_graz
Dass die algebraische Vielfachheit aller 3 EW 1 ist und dann müssten auch die Dimensionen der 3 EV 1 sein, richtig??

Genau genommen die Dimension der Eigenräume.

Zitat:
Original von niko_graz
Oder folgt daraus noch etwas??

Daß dann eben die Matrix diagonalisierbar ist. Augenzwinkern

Abgesehen von t=-2,5 ist für t=2 ein Eigenwert doppelt. Lehrer


Hmm ist das immer so wenn es 3 verschiedene EW gibt dass die Matrix diagonalisierbar ist?? Wenn ja wieso??

Bei t=2 ist ja -3 doppelt, die Matrix ist aber offensichtlich dennoch diagonalisierbar weil sie symmetrisch ist und jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.. Richtig?

Also außer bei t=-2,5 ist die Matrix immer diagonalisierbar??

LG
16.03.2011, 13:50 chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hmm ist das immer so wenn es 3 verschiedene EW gibt dass die Matrix diagonalisierbar ist?? Wenn ja wieso??

Also die Dimension eines Eigenraums zum korrespondierenden Eigenwert ist immer größer gleich 1 und immer kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit.
Wenn es jetzt drei versch. Eigenwerte gibt haben die ja alle algebraische Vielfachheit 1. Somit sind auch die Dimensionen der Eigenräume alle 1. Und nach def. ist eine Matrix immer denn diagonalisierbar, wenn geometrische=algebraische Vielfachheit ist.


Zitat:
Bei t=2 ist ja -3 doppelt, die Matrix ist aber offensichtlich dennoch diagonalisierbar weil sie symmetrisch ist und jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.. Richtig?

Ja richtig.

Zitat:
Also außer bei t=-2,5 ist die Matrix immer diagonalisierbar??

Ja richtig.
 Anzeige 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Hochschulmathematik » Algebra » Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit Parameter