Boolsche Algebra

01.12.2006, 18:07	SunBasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Boolsche Algebra Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe: Q=A´B´C´+A´B´C+A´C´D+AB´C´+AB´D+AC´D . Die Lösung soll Q=B´C+B´D+C´D sein. Wie kommt man auf das Ergebnis? Kann mir da jemand helfen? A´bedeutet A=nicht Danke schonmal im vorraus MFG
02.12.2006, 04:01	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Boolsche Algebra $\begin{eqnarray} \begin{array} {c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c} ABCD & A'B'C' & A'B'C & A'C'D & AB'C' & AB'D & AC'D & Q & B'C & B'D & C'D \\ \hline 0000 & 1 & & & & & & 1 & & & \\ 0001 & 1 & & 1 & & & & 1 & & 1 & 1\\ 0010 & & 1 & & & & & 1 & 1 & & \\ 0011 & & 1 & & & & & 1 & 1 & 1 & \\ \hline 0100 & & & & & & & & & & \\ 0101 & & & 1 & & & & 1 & & & 1\\ 0110 & & & & & & & & & & \\ 0111 & & & & & & & & & & \\ \hline 1000 & & & & 1 & & & 1 & & & \\ 1001 & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1\\ 1010 & & & & & & & & 1 & & \\ 1011 & & & & & 1 & & 1 & 1 & 1 & \\ \hline 1100 & & & & & & & & & & \\ 1101 & & & & & & 1 & 1 & & & 1\\ 1110 & & & & & & & & & & \\ 1111 & & & & & & & & & & \end{array} \end{eqnarray}$ Also laut Tabelle ist Q=B´C+B´D+C´D gar nicht die Lösung, in den Zeilen 0000, 1000 und 1010 sind nämlich Widersprüche. Oder hab ich mich irgendwo vertan?
02.12.2006, 08:12	SunBasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also unser Lehrer (welcher kurz vor der Rente steht und ziemlich verwirrt ist) wollte uns erzählen dass es immer mehrere Lösungen gibt. Er selbst schafft es nicht auf die Musterlösung aus dem Lösungsbuch zu kommen. Er kommt auf Q=B´+C´D!!! Nun steht die ganze Klasse ziemlich doof da, weil es uns keiner richtig erklären kann. MFG
02.12.2006, 21:18	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt insofern nur eine Lösung, als für Q nur genau eine Wahrheitstabelle richtig ist. Es gibt (sogar unendlich) viele Lösungen in der Hinsicht, dass man Q durch verschiedene Ausdrücke angeben kann. Man sucht natürlich immer einen möglichst einfachen. Hier greift z.B. das 1. Distributivgesetz: xy+xz = x(y+z). In Worten: mehrfach vorkommende Variable kann man ausklammern wie bei reellen Variablen. Wenn eine Variable gestrichen und ungestrichen drinsteht und der Rest gleich ist, macht man folgenden "Trick": $\begin{eqnarray} A'B'C' + A'B'C = A'B' (C'+C) = A'B' \cdot 1 = A'B' \text{ , denn } x+x'=1 \text{ (immer).} \end{eqnarray}$ Dasselbe kannst du auf A'C'D + AC'D anwenden, dort fällt dann A weg. Du erhältst zum Schluss einen Ausdruck mit nur noch 4 statt 6 Termen, 2 davon enthalten nur je 2 Variable, also immerhin eine Vereinfachung. In jedem Fall kannst und solltest du dein Ergebnis anhand der Wahrheitstabelle überprüfen, denn die ist wie gesagt eindeutig. Ich hab auch noch versucht, das Gesetz ab+a'c+bc = ab + a'c anzuwenden, aber ich "sehe" da einfach nix, insbesondere nicht, wie A komplett rausfallen soll. Vielleicht fühlt sich ja jemand berufen, der sich besser auskennt. Gruß. Christian
04.12.2006, 19:09	SunBasti	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotzdem Danke für Deine Hilfe...Habe mir es nochmal in verschiedenen Büchern angeschaut und denke das ich es so langsam verstehe. MFG
04.12.2006, 22:07	Friedrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt von der Tabelle von cst_ ausgegangen und die kleinste AL Formel, die ich für die Eigenschaft/Funktion Q (oder was auch immer Q hier ist) gefunden habe ist: $\begin{eqnarray} \neg{C}D \vee \neg{B}\neg{C} \vee \neg{B}D \vee \neg{A}\neg{B} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich mich eines Karnaugh-Diagramm bedient. Das erleichert einem die Arbeit, wenn man nur 4 AL-Variablen hat (geht auch noch bei 5 und theoretisch auch bei mehr). Der Trick, den man dabei macht ist, dass man ein 44 Feld erstellt und 1 einträgt wo Q eben 1 ist. Vgl ein Bsp aus Wikipedia(mit 24 Feld): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/12/KV-Diagramm_ABC.png Dann bildet man Blöcke mit 2, 4 oder 8 Variablen und liest ab für welche a, b, c, d dieser Block erfüllt. Dann verknüpft man die Formeln für die Blöcke mit UND und ist fertig. Warum das so gerade hinhaut steht vllt in Wikipedia, aber prinzipiell kann man sich überlegen, dass die Blockbildung dasselbe ist, wie das Streichen von Literalen in Disjunktionen, die einmal positiv und einmal negativ auftauchen.
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08.12.2006, 22:07	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das ist natürlich noch besser. Cool!

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