Nullstelle einer Funktion 3. Grades mit absolutem Glied

13.03.2011, 20:35

Matheeumelinchen

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Nullstelle einer Funktion 3. Grades mit absolutem Glied

Meine Frage:
Hallo, ich schon wieder unglücklich

unglücklich

ich dachte ich hätte die Kurvendiskussion endlich drauf, da steh ich schon wieder vor einem Berg.
Gegeben ist die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=0,5x^3-3x²+4x+2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Definitiondbereich hab ich
$\begin{eqnarray*} D_{f}=(-\infty;\infty) \end{eqnarray*}$

Grenzwerte sind
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty } f(x)=- \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)=\infty \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt mit Y

$\begin{eqnarray*} S_{y}=f(0)=2=(0|2) \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} S_{x}=f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0,5x^3-3x²+4x+2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |*2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^3-6x²+8x+4 \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter. Wie komme ich jetzt zu einer quadratischen Funktion?????

Vielen dank schon mal.

13.03.2011, 20:41

tigerbine

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RE: Nullstelle einer Funktion 3. Grades mit absolutem Glied
Hi,

die Funktion ist eben nicht quadratisch. Ist ja kein Wunschkonzert.

$\begin{eqnarray*} 0=x^3-6x²+8x+4 \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns an, wie schlimm die Lage wirklich ist.

Daher verweise ich auf einen Thread - ähnliches Problem:
x-Achsenabschnittberechnung

13.03.2011, 20:46

Matheeumelinchen

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Ich versteh da leider nix unglücklich

unglücklich

Kann ich überhaupt rechnerisch zu einer Nullstelle kommen???

13.03.2011, 20:48

tigerbine

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So schnelle Antwort... Dann hast du den anderen Thread nicht gelesen... unglücklich

unglücklich

Zitat:

kann ich überhaupt rechnerisch zu einer Nullstelle kommen?

Steht dort ganz klar und deutlich: Ja es geht. Man wird aber eher ein Näherungsverfahren nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2011, 20:52

Matheeumelinchen

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Tut mir leid. Ups

Ups

Mathe ist nicht so das, was in meinen Kopf möchte.
Näherungsverfahren hatten wir noch garnicht. Dann muss ich sie also mit dem Taschenrechner bestimmen.^^

Dann gehts jetzt weiter mit den Extremstellen, Wende-, Hoch-, Tief- und Sattelpunkten^^

Danke schonmal Blumen

Blumen

13.03.2011, 20:55

tigerbine

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Zitat:

Dann muss ich sie also mit dem Taschenrechner bestimmen.^^

Und wie machst du das?

Zitat:

Dann gehts jetzt weiter mit den Extremstellen, Wende-, Hoch-, Tief- und Sattelpunkten^^

Dann mach das.

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13.03.2011, 21:09

Matheeumelinchen

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Extremstellen:
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=1,5x^2-6x+4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |*\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-4x+\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
jetzt pq-Formel
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2\pm \sqrt{\left(- 2\right)^2- \frac{8}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2\pm 1,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0,84 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=3,16 \end{eqnarray*}$

Soweit ok? Ich würde jetzt damit anfangen, auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte zu untersuchen.

EDIT: Ahhh, verbessert Big Laugh

Big Laugh

13.03.2011, 21:11

tigerbine

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Die Funktion darfst du nicht multiplizieren, die Gleichung "=0" schon. Ergebnisse sehen richtig aus.

13.03.2011, 21:21

Matheeumelinchen

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Jetzt schau ich, ob es Tief oder Hochpunkte sind
$\begin{eqnarray*} F''(x)>0 \Rightarrow Tiefpunkt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F''(x)<0 \Rightarrow Hochpunkt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F''(x)=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ möglicher Wende- oder Sattelpunkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow F'''(x) \end{eqnarray*}$ untersuchen

$\begin{eqnarray*} F''(0,84)=-3,48<0 \Rightarrow Hochpunkt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F''(3,16)=3,48>0 \Rightarrow Tiefpunkt \end{eqnarray*}$

Jetzt die Wendepunkte, soweit das richtig ist.

13.03.2011, 21:22

tigerbine

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RE: Nullstelle einer Funktion 3. Grades mit absolutem Glied

Sieht doch gut aus.

13.03.2011, 21:32

Matheeumelinchen

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Für die Wendepunkte setze ich $\begin{eqnarray*} F''(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x-6 \end{eqnarray*}$
wieder pq
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= -1,5\pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= -1,5\pm 2,87 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}= 4,37 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}= 1,37 \end{eqnarray*}$
Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} F'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist es ein Sattelpunkt.

Dummerweise ist jetzt bei beidem $\begin{eqnarray*} F'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 21:38

tigerbine

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pq ist nun kein Allheilmittel. Da steht gar keine quadratische Gleichung.

13.03.2011, 21:46

Matheeumelinchen

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Aber kann ich nicht einfach annehmen, da steht $\begin{eqnarray*} 0=0x^2+3x-6 \end{eqnarray*}$ ???

Aber ansonsten, stimmt smile

smile

kann auch $\begin{eqnarray*} 0=3x-6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6=3x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |:3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=x \end{eqnarray*}$

smile

smile

$\begin{eqnarray*} F'''(2)=3\neq 0\Rightarrow Sattelpunkt \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch garkein Sattelpunkt, sondern ein Wendepunkt???

13.03.2011, 21:48

tigerbine

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Ich bin dann doch sehr für "ansonsten". Das andere geht hier nicht.

13.03.2011, 21:49

Matheeumelinchen

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ok^^ muss ich mir merken.
Aber das mit dem Sattelpunkt krieg ich net raus. Wo ist denn da der fehler?

13.03.2011, 21:53

tigerbine

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Die Funktion hat keinen Sattelpunkt, denn die Wendetangente hat nicht die Steigung 0.

13.03.2011, 21:54

Matheeumelinchen

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Wendetangente?

13.03.2011, 21:55

tigerbine

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Tangente im Wendepunkt? Was sonst? Schlag halt mal nach, was einen Sattelpunkt ausmacht und warum er ein besonderer Wendepunkt ist. Idee!

Idee!

13.03.2011, 22:01

Matheeumelinchen

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Also liegt es daran, dass $\begin{eqnarray*} f'(2)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Oder hab ichs falsch verstanden?

13.03.2011, 22:03

tigerbine

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Daran liegt es.

13.03.2011, 22:12

Matheeumelinchen

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Cool, dann kann ich zusammenfassen, indem ich die Werte in die Ausgangsformel einsetze:
$\begin{eqnarray*} f(0,84)=3,54 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{hoch}=[0,84|3,54] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3,16)=0,46 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{tief}=[3,16|0,46] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{Wende}=[2|2] \end{eqnarray*}$

So, dann untersuche ich die Krümmung der Funktion, also wo sie Llinks- und wo sie rechtsgekrümmt ist mit

$\begin{eqnarray*} f(x_{1})<f(x_{2})=LK \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_{1})>f(x_{2})=RK \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} f(x_{-\infty })>f(x_{2})=RK \end{eqnarray*}$
Im Intervall $\begin{eqnarray*} (- \infty;2] \end{eqnarray*}$ RK
Im Intervall $\begin{eqnarray*} [2;- \infty) \end{eqnarray*}$ LK

Fehlt nur noch die Monotonie, oder? Wie weise ich die nochmal nach??

Achja, und die Symetrien:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x)\Rightarrow Achsensymetrisch \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=0,5(-x)^3-3(-x)^2+4(-x)+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=-0,5x^3-3x^2-4x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)\neq f(x)\Rightarrow Nicht Achsensymetrisch \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -f(x)=f(-x)\Rightarrow Punktsymetrisch \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -f(x)=-(0,5x^3-3x^2+4x+2)=0,5x^3+3x^2-4x-2\neq f(-x)\Rightarrow Nicht Punktsymetrisch \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 22:19

tigerbine

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Zitat:

Fehlt nur noch die Monotonie, oder? Wie weise ich die nochmal nach??

Die hängt z.B. mit der Ableitung zusammen.

13.03.2011, 22:28

Matheeumelinchen

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Also wenn $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ dann streng monoton steigend,
, wenn $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

und wie untersuche ich das mathematisch?

13.03.2011, 22:31

tigerbine

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Big Laugh

Das war schon mathematisch.

13.03.2011, 22:33

Matheeumelinchen

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Big Laugh

Mir ist trotzdem nicht klar, wie ich vorgehen muss verwirrt

verwirrt

13.03.2011, 22:35

tigerbine

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Du hast die Ableitung doch schon auf Nullstellen untersucht, nun eben noch auf Vorzeichen.

13.03.2011, 22:40

Matheeumelinchen

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ja, aber wie mach ich das denn? traurig

traurig

13.03.2011, 22:48

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x)'=1.5x^2-6x+4 \end{eqnarray*}$

Na, wie sieht das Ding wohl aus?

13.03.2011, 22:51

Matheeumelinchen

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Wie ne Parabel.
Also muss ich den Tiefpunkt von $\begin{eqnarray*} f(x)'=1.5x^2-6x+4 \end{eqnarray*}$ suchen? Und dann? Ich verzweifel hier grad an mir selber. Ich dachte, ich könnte das Tränen

Tränen

13.03.2011, 22:53

tigerbine

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Parabel. Japp. Und da wird es nun doch einfach. Besser du suchst die Nullstellen, die du eh schon hast.

13.03.2011, 22:58

Matheeumelinchen

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Achso. die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ geben mir also die Monotonieabschnitte an. Aber wie gehe ich denn dann vor? Also was muss ich rechnen?

13.03.2011, 23:01

tigerbine

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Denken musst du. Wie ist die Parabel denn geöffnet?

$\begin{eqnarray*} f(x)'=1.5x^2-6x+4 \end{eqnarray*}$

13.03.2011, 23:09

Matheeumelinchen

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Nach oben geöffnet.
Ich komme trotzdem nicht drauf. Denkblockade geschockt

geschockt

13.03.2011, 23:10

tigerbine

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Na, wo ist der Graph den positiv, wo negativ. Man sieht es doch.

13.03.2011, 23:15

Matheeumelinchen

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Achso

geschockt

Da, wo $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ positiv ist, also über der x-Achse, da ist die Funktion monoton steigend. Ab der ersten Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ sickt $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ins negative, also ab da ist es monoton steigend. Ab NS2 dann wieder monoton steigend.
Logisch. $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ gibt ja die Steigung der Tangente der Funktion an.
Wie kriege ich diese Erkentniss jetzt noch aufs Papier? Big Laugh

Big Laugh

13.03.2011, 23:18

tigerbine

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Ebenso.

Augenzwinkern

13.03.2011, 23:26

Matheeumelinchen

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Ich kann doch nicht so einen Text dahin schreiben.
Also Ich hab die Nulstellen der Ableitung

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0,84 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=3,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (- \infty;0,84] \Rightarrow monoton fallend \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [0,84;3,16] \Rightarrow monoton steigend \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [3,16; \infty] \Rightarrow monoton fallend \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Schreibweise?

13.03.2011, 23:29

tigerbine

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Naja, eher so. Der Graph der ersten Ableitung ist eine nach oben offene Parabel (Leitkoeffizient vpr x² ist positiv). Die Nullstellen sind bei ... . Daher folgt ....

13.03.2011, 23:38

Matheeumelinchen

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Also doch komplett als Text? Ok.
Dann müsste dir Kurvendiskussion damit ja vollständig sein, oder?

13.03.2011, 23:38

tigerbine

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Ja, schaut so aus.

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