holomorphe Funktion: Aussage zu zeigen...

13.03.2011, 20:50

Nera89

holomorphe Funktion: Aussage zu zeigen...

Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, bei welcher ich keine Ahnung habe wie ich das zeigen soll...:

Wir betraqchten eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f: \Omega \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \alpha Ref + \beta Imf + \gamma = 0 \end{eqnarray*}$ ,

für reelle Konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta , \gamma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ^2 + \beta ^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Zeige: f ist konstant.

Lg Nera

13.03.2011, 22:43

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Überlegung dazu: Was bedeutet es denn für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$ , holomorph zu sein?

Weiter habe ich die zu zeigende Gleichung abgeleitet (für Re und Im ergibt das den Gradienten) und die zwei entstehenden Geichungen subtrahiert ...

13.03.2011, 23:25

Nera89

Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine holomorphe Funktion hat die Eigenschaft, dass die Funktion für alle z in Omega diffbar ist. Und es wäre: Ref = u(x,y) und Imf = v(x,y).
Ich verstehe aber noch nicht genau was du meinst...
Resp. weiss ich nicht genau wie ich diese Funktion ableiten soll...
Habe das Gefühl dass es einfach wäre, stehe aber gerade voll auf dem Schlauch...

13.03.2011, 23:28

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Um das vielleicht vorher zu sagen: Ich komme auf die Konstant der Funktion, aber ich kann nicht zu 100 % sagen, ob's stimmt. Wie gesagt, ich komme auf die Konstanz ...

Um dich in die (meiner Meinung nach) richtige Richtung zu schubsen: Kennst du die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen? Sie sagen dir, ob f holomorph ist.

13.03.2011, 23:38

Nera89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte noch von Kollegen den Tip bekommen die patiellen Ableitungen 0 zu setzten also sollte deine Lösung mit der Ableitung in die richtige Richtung gehen.
Die Cauchy-Riemann Ungleichungen kenne ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das nun? Resp. wie kann ich das mit $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta , \gamma \end{eqnarray*}$ verbinden?

13.03.2011, 23:58

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Leite doch mal die gegebene Ausgangsgleichung ab und nutze dann die Relationen der Cauchy-Riemann-Gleichungen.

14.03.2011, 00:09

Nera89

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay:
$\begin{eqnarray*} (\alpha Ref + \beta Imf +\gamma)' = \alpha * \frac{du}{dx} + \beta \frac{dv}{dy} = 0 \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} (\alpha Ref + \beta Imf +\gamma)' = \alpha * \frac{du}{dy} - \beta \frac{dv}{dx} = 0 \end{eqnarray*}$
wenn ich diese nun gleichsetzte erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \alpha*(\frac{du}{dx}-\frac{du}{dy}) = -\beta*(\frac{dv}{dx} + \frac{dv}{dy}) \end{eqnarray*}$

und jetzt?

14.03.2011, 00:15

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt setzt du passend aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen ein. Ersetze zwei der partiellen Ableitungen, sortiere und treffe Aussagen über die Funktionen. Klammere dazu aber nicht das Alpha oder Beta aus, sondern die jeweiligen partiellen Ableitungen.

14.03.2011, 00:29

Nera89

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{du}{dy} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dx} = -\frac{dv}{dy} \end{eqnarray*}$

aber dann könnte ja u(x,y)= ax + ay + C
und v(x,y) = bx - by + D wobei a,b,C,D reel sind.

Was habe ich übersehen?

14.03.2011, 00:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm ... ich nicht. Vielleicht hast du auch nicht so geklammert, wie ich das meinte.

Zitat:

Original von Nera89
$\begin{eqnarray*} \alpha*(\frac{du}{dx}-\frac{du}{dy}) = -\beta*(\frac{dv}{dx} + \frac{dv}{dy}) \end{eqnarray*}$

So, ich setz jetzt mal $\begin{eqnarray*} u_x = v_y,~u_y = -v_x \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot (v_y - u_y) = - \beta \cdot (-u_y + v_y) \end{eqnarray*}$

So, sortiere, das jetzt um, klammere die partiellen Ableitungen aus und schreibe alles auf eine Seite, auf die andere Null. Deine Gleichung sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (\dots) \cdot v_y + (\dots) \cdot u_y = 0 \end{eqnarray*}$

Und dann guck dir an, ob das in den Klammern Null werden kann oder was da los ist.

Wenn du dann die CR-Gleichungen genau anders herum nutzt, bekommst du eine Gleichung, in der nur partielle Ableitungen nach x vorkommen. Das musst du auch noch machen.

Ich bin jetzt erst mal off, gucke dann aber morgen wieder vorbei. Augenzwinkern

14.03.2011, 01:16

Nera89

Auf diesen Beitrag antworten »

Juppie geschaft!!! Gott

Ohne deine Hilfe wäre ich wohl immer noch am Knobeln resp. deprimiert im Bett Augenzwinkern

In diesem Sinne tausend Dank Freude

Lg Nera

Neue Frage »

Antworten »

holomorphe Funktion: Aussage zu zeigen...

Verwandte Themen