Vektor an Geraden spiegeln

13.03.2011, 20:38

fontsix

Vektor an Geraden spiegeln

Hallo zusammen !

Ich habe folgendes Problem, und zwar komme ich bei der Aufgabe nicht sonderlich weiter.

$\begin{eqnarray*} <br /> g: y = 3x<br /> \vec{x} = (3,1)^{T} <br /> \end{eqnarray*}$

Spiegeln Sie den Vektor x an der Geraden. Stellen Sie die Spiegelungsmatrix auf. Berechnen Sie den gespiegelten Vektor. Um welchen Winkel müsste man x drehen um den gespiegelten Vektor x' zu erhalten. Geben Sie die zugehörige Drehmatrix an.

Leider bin ich bisher nicht weiter gekommen als die Geradengleichung in die Parameterform umzuwandeln. Dazu habe ich einfach einen Wert für y eingesetzt und bin jetzt auf die Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{g} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gekommen.

Wie mache ich dann weiter ? Ich bin öfters darauf gestossen vom Vektor x ein Lot auf die Gerade zu fällen und dann erhält man den Fußpunkt. Bitte helft mir ...

LG Marcel

13.03.2011, 20:54

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor an Geraden spiegeln
Es gibt verschieden Möglichkeiten, hier vorzugehen, eine recht rechenaufwendige aber einleuchtende ist, einfach zwei linear unabhängige Vektoren zu nehmen und diese abzubilden, also an der Geraden zu spiegeln, dann haben wir zwei Vektoren und deren Bilder und können durch Lösen eines LGS die Matrix bestimmen.

Um erst einmal die Matrix zu bestimmen bietet es sich an, einen Vektor in Richtung der Geraden zu wählen und einen, der senkrecht auf der Geraden steht, denn hier sind die Bilder einfach zu bestimmen.

Also beginnen wir einmal, die Matrix zu erstellen, welche Vektoren bieten sich als Urbilder an, welches sind ihre Bilder?

Edit: Und in Hochschulmathematik verschoben.

13.03.2011, 21:16

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt über den Lösungsansatz "Projektion eines Vektor auf einen zweiten Vektor" den Vektor bestimmt der von der "Spitze" des Vektors x senkrecht auf der Gerade steht an der gespiegelt werden soll.

Meine Formel:

$\begin{eqnarray*} (\frac{\vec{g}\cdot \vec{x} }{|\vec{g} |^{2} })\cdot \vec{g} \end{eqnarray*}$

Der Vektor der Senkrecht auf der Gerade steht lautet somit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{9}{5} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit könnte ich ja dann den Schnittpunkt (Fußpunkt) an der Gerade berechnen, oder sollte man anders vorgehen ?

PS: Ich meinte allerdings das ich jetzt den Vektor berechnet habe der in Richtung der Geraden liegt, nicht den Senkrechten auf der Gerade.

13.03.2011, 21:53

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir benötigen zwei Vektoren und deren Bilder, immerhin möchten wir eine 2X2 Matrix erstellen.

Nun nimm dir einmal einen Vektor, der in Richtung der Geraden verläuft, welchen Vektor wählst du?

Dann nimm einen Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht, welchen wählst du hier?

Die Bilder sind einfach zu bestimmen, der Vektor, der in Richtung der Geraden verläuft wird auf sich selbst abgebildet, der Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht auf sein negatives.

Damit hat man die Abbildungsmatrix schon in der Tasche.

Der von dir errechnete Vektor steht nicht senkrecht auf der Geraden g.

13.03.2011, 22:18

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nun nimm dir einmal einen Vektor, der in Richtung der Geraden verläuft, welchen Vektor wählst du?

Ich würde natürlich den Richtungsvektor der Geradengleichung nehmen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann nimm einen Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht, welchen wählst du hier?

Ich hatte ja vorhin bei der Vektorprojektion den Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{9}{5} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bekommen, allerdings scheint da ein Vorzeichen falsch zu sein, denn 2 Vektoren sind orthogonal zueinander wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. Bei mir ergibt das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \frac{18}{5} \end{eqnarray*}$

Könnte man nicht einfach auch eine Gleichung aufstellen ? In meinem Fall allerdings wäre $\begin{eqnarray*} 2x + 6y = 0 \end{eqnarray*}$ Da müsste man ja dann einen freien Parameter einführen für y z.B.

14.03.2011, 09:18

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die Gerde ist y=3x, der Vektor (2,6) läuft in Richtung der Geraden.

Nun bestimmen wir eine dazu senkrechte Gerade, welche Steigung muss diese haben?

Du kannst auch das Skalarprodukt bilden: 2x+6y=0.

Selbstverständlcih musst du hier einen Parameter wählen, es soll ja eine zu y senkrechte Gerade herauskommen.
Dann bestimmst du einen Vektor in Richtung dieser senkrecht auf y=3x stehenden Geraden.

Neue Frage »

Antworten »

Vektor an Geraden spiegeln

Verwandte Themen