Erwartungswert E(XY) berechnen

13.03.2011, 21:41

Physinetz

Erwartungswert E(XY) berechnen

Guten abend,

ich schaffs nicht von folgender Funktion den Erwartungswert E(XY) zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} (\frac{1}{20}-\frac{1}{200y})e^{-1/4x} ~ fuer ~ 0\leq x,0\leq y\leq 10 \\ 0 ~ sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dachte das würde dann folgendermaßen funktionieren:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \int_0^{10} x*y* (\frac{1}{20})-\frac{1}{200y}e^{-1/4x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber dann ausrechne komme ich irgendwann auf:

$\begin{eqnarray*} \left[x²/4-1/4*e^{-1/4x}+e^{-1/4x}\right]_{\infty }^{0} \end{eqnarray*}$ und das übersteigt ja deutlich 1.

Kann es sein das ich die Grenzen falsch interpretiert habe und x ebenfalls nur bis 10 geht laut Aufgabenstellung? War da jemand wieder schreibfaul?

Sonst gehts ja irgendwie nicht

Gruß und Danke

13.03.2011, 21:53

HAL 9000

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Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte: Das Gesamtintegral (also über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) ist ungleich 1 - auch dann, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur bis 10 geht. unglücklich

Kontrolliere nochmal die Angaben über die Dichte, da ist irgendwas faul. verwirrt

EDIT: Ich denke mal, statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{200y} \end{eqnarray*}$ muss da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{200}y \end{eqnarray*}$ stehen - dann haut es hin!

13.03.2011, 22:00

Physinetz

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Stimmt! Es müsste lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} (\frac{1}{20}-\frac{1}{200}y)e^{-1/4x} ~ fuer ~ 0\leq x,0\leq y\leq 10 \\ 0 ~ sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das y wandert nach oben, dann dürfte es eine Dichtefunktion sein!

Wie gehts dann weiter?

13.03.2011, 22:05

HAL 9000

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Na weiter geht es mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \int_0^{10} x\cdot y \cdot \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{200}y \right) e^{-\frac{1}{4}x} ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$

bei dir oben fehlen das "dy dx" sowie Klammern bzw. sind falsch gesetzt - soviel Zeit für Exaktheit muss sein.

Wieso sieht du ein Problem darin, dass der Erwartungswert größer als 1 ist?

13.03.2011, 22:11

Physinetz

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Zitat:

Wieso sieht du ein Problem darin, dass der Erwartungswert größer als 1 ist?

Hmm ich korrigiere: mein Problem war eher das mein Erwartungswert unendlich wird, siehe:

$\begin{eqnarray*} \left[x²/4-1/4*e^{-1/4x}+e^{-1/4x}\right]_{\infty }^{0} \end{eqnarray*}$

würde ja gegen unendlich streben, heißt entweder falsch integriert oder stimmen meine Grenzen aus der Aufgabenstellung nicht

13.03.2011, 22:13

HAL 9000

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Ich kann deine Rechnung nicht nachvollziehen - ich bekomme was endliches raus. Zeig mal deine Zwischenschritte! Ich vermute, die vergessenen Klammern haben Folgefehler provoziert...

13.03.2011, 22:17

Physinetz

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ah ok habe meinen Fehler soeben gefunden beim Abschreiben, dann passts, trotzdem danke

13.03.2011, 22:18

HAL 9000

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Trotz "trotzdem" gerne geholfen. Wink

13.03.2011, 22:39

Dia

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Ich möchte hier darauf hinweisen, daß f zunächst keine Dichtefunktion sein muß
sondern, daß man sie eventuell normieren muß

14.03.2011, 16:47

René Gruber

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Zitat:

Original von Dia
Ich möchte hier darauf hinweisen, daß f zunächst keine Dichtefunktion sein muß
sondern, daß man sie eventuell normieren muß

Nein: Wenn da $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \ldots \end{eqnarray*}$ steht, dann muss das auch so gemeint sein, da gibt es keinen Interpretationsspielraum eines eventuell noch hinzuzufügenden Vorfaktors. unglücklich

Vielleicht verwechselst du das mit dem auch oftmals anzutreffenden $\begin{eqnarray*} f(x,y) \propto \ldots \end{eqnarray*}$ , dort gebe ich dir dann Recht.

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