Verteilungsfunktion bestimmen

13.03.2011, 22:54

Physinetz

Verteilungsfunktion bestimmen

Guten abend,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Seien X und Y zwei stochastisch unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen auf [0,1).

Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray*} $ 0 < \alpha \leq \beta$ \end{eqnarray*}$ die Verteilfunktion $\begin{eqnarray*} F_z \end{eqnarray*}$ , die Dichte $\begin{eqnarray*} f_z \end{eqnarray*}$ und den Erwartungswert der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} $ Z=\alpha X+\beta Y$ \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz: Damit es sich um eine Dichtefunktion handelt, muss ja alpha und beta entsprechend bestimmt werden, richtig?

Das heißt es muss gelten: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \! \alpha X+\beta Y \, dx =1 \end{eqnarray*}$

Das hätte ich aufgelöst und beta und alpha entsprechend gewählt, aber da gibts ja dann auch unendlich viele Lösungen.

Vielleicht ist das Zauberwort auch "Gleichverteilt" um auf alpha und beta zu kommen?

Könnte mir jemand helfen?

Vielen Dank

Gruß Physi

13.03.2011, 23:21

Math1986

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RE: Verteilungsfunktion bestimmen

Zitat:

Original von Physinetz
Seien X und Y zwei stochastisch unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen auf [0,1).

Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray*} $ 0 < \alpha \leq \beta$ \end{eqnarray*}$ die Verteilfunktion $\begin{eqnarray*} F_z \end{eqnarray*}$ , die Dichte $\begin{eqnarray*} f_z \end{eqnarray*}$ und den Erwartungswert der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} $ Z=\alpha X+\beta Y$ \end{eqnarray*}$ .

Du weisst dass X und Y gleichverteilt auf [0,1) sind, welche Diche, welche Verteilungsfunktion und welchen Erwartungswert haben diese also jeweils?
Anhand dessen kannst du Dichte und Verteilungsfunktion von Z bestimmen
Dann musst du nur noch ausnutzen dass der Erwartungswert linear ist

13.03.2011, 23:31

HAL 9000

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Der Erwartungswert ist linear, also kannst du $\begin{eqnarray*} E(Z) \end{eqnarray*}$ ziemlich schnell aus $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Bei Dichte $\begin{eqnarray*} f_Z \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Z \end{eqnarray*}$ wirst du hingegen nicht um sowas wie ein Faltungsintegral herumkommen.

P.S.: Und lies bitte nochmal gründlich die Aufgabenstellung: Es geht nicht darum, $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ zu bestimmen - nein, du sollst für beliebige $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\alpha\leq \beta \end{eqnarray*}$ die geforderten Größen berechnen!

Dieses Konstrukt

Zitat:

Original von Physinetz
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \! \alpha X+\beta Y \, dx \end{eqnarray*}$

ist übrigens mathematisch völlig sinnfrei. unglücklich

13.03.2011, 23:39

Physinetz

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Wenn ich nach wiki gehe gilt:

$\begin{eqnarray*} E(X)= (a+b)/2 \end{eqnarray*}$ wobei a und b meine Intervallgrenzen sind, hier also 0 und 1, also ist $\begin{eqnarray*} E(X)= 1/2 \end{eqnarray*}$

Und ebenfalls $\begin{eqnarray*} E(Y)=1/2 \end{eqnarray*}$

Für die Dichtefunktion gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=1/(b-a)=1/(1-a)=1 \end{eqnarray*}$ für [0,1]

Hmm ich hoffe ich mache hier nicht etwas total falsch...?

Zitat:

Dieses Konstrukt Zitat: Original von Physinetz $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \! \alpha X+\beta Y \, dx \end{eqnarray*}$ ist übrigens mathematisch völlig sinnfrei. unglücklich

Stimmt, bin nur sehr hektisch beim schreiben ;-)

13.03.2011, 23:44

Math1986

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Zitat:

Original von Physinetz
Wenn ich nach wiki gehe gilt:

$\begin{eqnarray*} E(X)= (a+b)/2 \end{eqnarray*}$ wobei a und b meine Intervallgrenzen sind, hier also 0 und 1, also ist $\begin{eqnarray*} E(X)= 1/2 \end{eqnarray*}$

Und ebenfalls $\begin{eqnarray*} E(Y)=1/2 \end{eqnarray*}$

Ja, und anhand der Linearität (auf die du nun schon zweimal hingewiesen wurdest) kannst du nun den Erwartungswert für Z berechnen

Zitat:

Original von Physinetz
Für die Dichtefunktion gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=1/(b-a)=1/(1-a)=1 \end{eqnarray*}$ für [0,1]

Ja, und anhand des Faltungsintegrals kannst du nun die Dichtefunktion für Z berechnen

Wie sieht die Verteilungsfunktion von x und Y aus?

13.03.2011, 23:53

Physinetz

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Ok der Erwartungswert für Z wäre dann:

$\begin{eqnarray*} E(Z)=E(\alpha X+\beta Y)=\alpha E(X)+\alpha E(y)=\alpha*0.5+\beta *0.5 \end{eqnarray*}$

Ist mit Faltungsintegral dasjenige Integral gemeint, welches auch bei Fourrier genutzt wird? Das wäre mir nämlich neu wie das hier ginge...

13.03.2011, 23:56

Physinetz

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Also laut wikipedia wäre ja die Dichtefunktion für X dann:

$\begin{eqnarray*} F(x)=x/1=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

und für Y dann ja auch: $\begin{eqnarray*} F(y)=y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$

Hmm

14.03.2011, 10:55

René Gruber

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So ist es, allerdings wäre es besser, wenn du den vielen hier anzutreffenden Zufallsgrößen Rechnung trägst und deren Verteilungsfunktionen und Dichten auch symbolisch sorgfältig voneinander unterscheidest, also $\begin{eqnarray*} F_X, F_Y \end{eqnarray*}$ usw., sonst kommst du irgendwann in Teufels Küche.

Als nächstes steht die "Streckung" an, d.h. die Bestimmung der Verteilung von $\begin{eqnarray*} \alpha X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \beta Y \end{eqnarray*}$ : Das sind ebenfalls Gleichverteilungen, nur eben nicht auf [0,1], sondern auf $\begin{eqnarray*} [0,\alpha] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [0,\beta] \end{eqnarray*}$ , also mit den Dichten

$\begin{eqnarray*} f_{\alpha X}(x) = \begin{cases} \frac{1}{\alpha} & \textrm{für}\; 0\leq x\leq \alpha \\ 0 & \textrm{sonst} \end{cases}, \qquad f_{\beta Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{\beta} & \textrm{für}\; 0\leq y\leq \beta \\ 0 & \textrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Mit Fourier hat das Faltungsintegral nicht direkt zu tun, es geht um

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = f_{\alpha X+\beta Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha X}(x) f_{\beta Y}(z-x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Bei der konkreten Berechnung wirst du zweckmäßigerweise bei den $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ eine Fallunterscheidung in geeignete Intervalle durchführen müssen.

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