Fubini

14.03.2011, 15:00	12223	Auf diesen Beitrag antworten »
Fubini Meine Frage: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} F:\mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray}$ eine stetige Versteilungsfunktion und P das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray} (\mathbb R , \mathfrak B) \end{eqnarray}$ . Zeige unter Anwendung des Satzes von Fubini: $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R \! F(x) \, dP(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Überprüfen sie hierbei alle Vorraussetzungen des Satzes von Fubini. Meine Ideen: also ich hab einfach mal angefangen und für $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \int_\infty^x \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ eingesetzt...dann kann ich Fubini anwenden und hab $\begin{eqnarray} \int_\infty^x \! \int_\mathbb R \! f(x) \, dP(x) \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R \, dP(x) \end{eqnarray}$ ist ja gleich $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ , also hab ich $\begin{eqnarray} \int_\infty^x \! \int_\mathbb R \! f(x)^2 \, dx \, dx \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray}$ ist doch schon $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , und das Ingegral von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist ja nicht wieder $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand helfen meinen Fehler zu finden? Oder ist mein Ansatz schon falsch? Danke
16.03.2011, 13:16	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig ist, heißt nicht, dass es eine Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gibt. Daher kann man für $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ nur folgendes schreiben: $\begin{eqnarray} F(x)=\int \limits _{(-\infty,x]} \dd P(y) \end{eqnarray}$ . Schreibe also $\begin{eqnarray} \int \limits _\mathbb{R} F(x) ~\dd P(x)= \int \limits _\mathbb{R} \int \limits _{(-\infty,x]} \dd P(y) ~ \dd P(x) = \int \limits _\mathbb{R} \int \limits _\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty,x]}(y) ~ \dd P(y) ~ \dd P(x) \end{eqnarray}$ Schreibe dann den Indikator in eine Funktion in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ um und wende Fubini an. Du brauchst dann nur noch die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} P(M)=0 \end{eqnarray}$ für jede einpunktige Menge gilt, da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig ist.

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