Klausurfrage: Identität beweisen

14.03.2011, 15:50

Gast11022013

Klausurfrage: Identität beweisen

Meine Frage:
Frage aus der Analysis 3 Klausur (Themenbereiche: gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie):

Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_2^4 \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx=\int_2^4 \lim_{k \to \infty} \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Man kann also den Limes in den Integranden ziehen...
Daher würde ich vermuten, dass man für die Antwort entweder den Satz von der monotonen Konvergenz oder den Satz von der dominierten Konvergenz benötigt.

Ein kleiner Hinweis wäre toll.

Ich persönlich denke, man benötigt den Satz von der dominierten Konvergenz.
Als Funktionenfolge könnte man $\begin{eqnarray*} (f_k)_{k\in \mathbb N}(x), f_k(x):=\frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} \end{eqnarray*}$ nehmen und dies geht für $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{7}{(x-2)^2}=:f(x) \end{eqnarray*}$ . Eine Majorante findet man auch.

Diese Frage habe ich auch hier gestellt:
http://vorhilfe.de/read?i=777820

14.03.2011, 17:36

sergej88

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Hallo,

gib am besten die Majorante direkt an, wäre eine gute Übung.
Dafür brauchst du auch garnicht den punktweisen Grenzwert kennen, sofern dieser von der Aufgabenstellung nicht verlangt ist.

Klammere dazu zum beispiel k aus und schätze den nenner geeignet ab. Beachte, dass das Integrationsintervall kompakt ist und du damit die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} <br /> \int \limits_{2}^{4}|g(x)|d\lambda(x) \leq \underset{x \in [2,4]}{\sup}|g(x)|\cdot \lambda([2,4])<br /> \end{eqnarray*}$

verwenden kannst. Dh. es reicht, wenn du als Majorante eine beschränkte Funktion angeben kannst.

mfg

14.03.2011, 17:56

Gast11022013

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Mir wurde gesagt, dass die Grenzfunktion gar nicht integrierbar ist über [2,4], womit ja irgendwie alles hinfällig ist.

14.03.2011, 23:36

gonnabphd

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Zitat:

Mir wurde gesagt, dass die Grenzfunktion gar nicht integrierbar ist über [2,4], womit ja irgendwie alles hinfällig ist.

Als ich mich letztes Mal mit Maßtheorie beschäftigt habe, war $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ noch ein akzeptabler Wert für Integrale... unglücklich

15.03.2011, 10:26

Gast11022013

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Hallo, gonnabphd!

Was darf ich Deinem Kommentar entnehmen? Habe das nicht so wirklich verstanden.

15.03.2011, 10:57

gonnabphd

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D.h. dass du in diesem Falle nachweisen müsstest, dass

$\begin{eqnarray*} \lim \int_2^4 \frac{7k + 3}{k(x-2)^2 + 3} \, dx = \infty = \int_2^4 \frac 7{(x-2)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

15.03.2011, 11:07

ThomasL

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der Satz von der monotonen Konvergenz löst das Problem direkt...

15.03.2011, 11:16

Gast11022013

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Ja, es kommt in der Tat auf beiden Seite unendlich heraus.
Aber wie weist man das sauber nach?

15.03.2011, 11:19

Gast11022013

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Hallo, ThomasL!

Wie meinst Du das: Dass der Satz von der monotonen Konvergenz das Problem direkt löst?

15.03.2011, 11:35

ThomasL

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Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend (und nicht negativ) auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f_k(x)\le f_{k+1}(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in[2,4] \end{eqnarray*}$ .

Das kann man direkt nachrechnen: setzt man zur Abkürzung $\begin{eqnarray*} a:=(x-2)^2 \end{eqnarray*}$ , so ist diese Ungleichung zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{7k+3}{ak+3} \le \frac{7(k+1)+3}{a(k+1)+3} \end{eqnarray*}$
und jetzt wie gewohnt umformen.

15.03.2011, 13:07

Gast11022013

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Du meinst also: $\begin{eqnarray*} (f_k), f_k:=\frac{7k+3}{ak+m} \end{eqnarray*}$ . Ich gehe jetzt einfach den Satz von der monotonen Konvergenz durch, wie ich ihn bei Wikipedia finde:

Ist $\begin{eqnarray*} (f_k) \end{eqnarray*}$ eine Folge nichtnegativer, meßbarer Funktionen, die fast überall monoton wachsend gegen eine meßbare Funktion f konvergiert?

Was ich erkenne:
Die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ sind nichtnegativ und monoton wachsend. Meßbar sind sie doch, weil sie stetig sind?

Okay und die Grenzfunktion steht ja oben schon. Damit folgt dann das, was man zeigen sollte, denke ich?

15.03.2011, 16:07

ThomasL

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Zitat:

Original von Dennis2010
Meßbar sind sie doch, weil sie stetig sind?

Ja. Die Hauptarbeit ist die Monotonie zu zeigen, aber das ist Analysis 1.
Die Grenzfunktion muss man nicht unbedingt bestimmen, allerdings liefert diese den Hinweis, dass der Satz der dominierten Konvergenz hier nicht funktioniert.

16.03.2011, 10:57

Gast11022013

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Zitat:

Original von ThomasL
Die Hauptarbeit ist die Monotonie zu zeigen, aber das ist Analysis 1.

Okay, daran werde ich mich versuchen.

Zitat:

Original von ThomasL
Die Grenzfunktion muss man nicht unbedingt bestimmen, allerdings liefert diese den Hinweis, dass der Satz der dominierten Konvergenz hier nicht funktioniert.

Das verstehe ich nicht: Inwiefern liefert die Grenzfunktion den Hinweis, dass der Satz von der dominierten Konvergenz hier nicht klappt? Oben wurde doch beschrieben, dass man auch mit dem Satz von der dominierten Konvergenz weiterkommt, indem man zeigt, dass beide Ausdrücke gegen unendlich gehen und eine Majorante findet.

Außerdem muss man die Grenzfunktion doch bestimmen, weil der Satz doch vorsieht, dass die Folgenglieder (also die Funktionen) gegen diese Grenzfunktion konvergieren?

16.03.2011, 11:09

jester.

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

Mir wurde gesagt, dass die Grenzfunktion gar nicht integrierbar ist über [2,4], womit ja irgendwie alles hinfällig ist.

Als ich mich letztes Mal mit Maßtheorie beschäftigt habe, war $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ noch ein akzeptabler Wert für Integrale... unglücklich

Das ist zwar richtig, aber so weit ich weiß, ist der Begriff der integrierbaren (im Sinne der Maß- und Integrationstheorie) Funktion für solche Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reserviert, die $\begin{eqnarray*} \int |f| ~ \dd \lambda < \infty \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Darum kann man dann wohl auch nicht den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden; dieser benötigt eine integrierbare Majorante (im vorstehenden Sinn).

16.03.2011, 11:33

Gast11022013

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Ah, das leuchtet mir ein und ich verstehe nun, wie das gemeint war, dass die Grenzfunktion einen Hinweis darauf gibt, dass man den Satz von der dominierten/ majorisierten Konvergenz hier nicht anwenden kann.

Vielen Dank.

Was die Monotonie für die Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz angeht, so komme ich auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{7k+3}{k\cdot (x-2)^2+3}\leq \frac{7(k+1)+3}{(k+1)(x-2)^2+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{7k+3}{k\cdot (x^2-4x+4)+3}\leq \frac{7k+10}{(k+1)(x^2-4x+4)+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{7k+3}{kx^2-4kx+4k+3}\leq \frac{7k+10}{(k+1)x^2-4(k+1)x+4k+7} \end{eqnarray*}$

Multiplizieren der Nenner:

$\begin{eqnarray*} (7k+3)\cdot ((k-1)x^2-4(k+1)x+4k+7)\leq (7k+10)\cdot (kx^2-4kx+4k+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7k^2x^2-4kx^2-3x^2-28k^2x-40kx-12x+28k^2+61k+21\leq 7k^2x^2+10kx^2-28k^2x-40kx+28k^2+61k+30 \end{eqnarray*}$

Daraus müsste man doch erkennen, dass es sich um eine wahre Aussage gehandelt hat, dass also $\begin{eqnarray*} f_k\leq f_{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt - oder?

16.03.2011, 12:18

gonnabphd

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@jester:

Zitat:

Original von jester
Das ist zwar richtig, aber so weit ich weiß, ist der Begriff der integrierbaren (im Sinne der Maß- und Integrationstheorie) Funktion für solche Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reserviert, die $\begin{eqnarray*} \int |f| ~ \dd \lambda < \infty \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Alles was du sagst, ist richtig.

Schauen wir uns nochmal die Aufgabe an: Die originale Aufgabe war

Zitat:

Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_2^4 \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx=\int_2^4 \lim_{k \to \infty} \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx \end{eqnarray*}$ ?

Insbesondere wird Integrierbarkeit dort nicht erwähnt, womit man in der Aussage

Zitat:

Mir wurde gesagt, dass die Grenzfunktion gar nicht integrierbar ist über [2,4], womit ja irgendwie alles hinfällig ist.

vergeblich nach einer Relevanz für die gegebene Aufgabe sucht. --> Deshalb mein Kommentar dazu.

16.03.2011, 12:26

Gast11022013

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Ich hatte in der Aufgabenstellung dazu geschrieben, dass u.a. Maß- und Integrationstheorie behandelt wurden, vielleicht hätte ich das aber auffälliger machen sollen.

16.03.2011, 16:19

gonnabphd

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Irgendwie verwirrt mich dieser letzte Kommentar gerade sehr, uns hier ist schon allen klar, dass es sich um Masstheorie handelt.

Ich versuche nochmal den Thread zusammenzufassen:

In der gegebenen Aufgabenstellung geht es darum folgendes zu zeigen.

Zitat:

Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \int_2^4 \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx=\int_2^4 \lim_{k \to \infty} \frac{7k+3}{k(x-2)^2+3} dx \end{eqnarray*}$ ?

dann wurde auch schon vonThomasL der gute Tipp gegeben, monotone Konvergenz der Folge zu zeigen, um daraus folgern zu können, dass die obige Gleichheit in der Tat stimmt.

Ob da nun unendlich bei rauskommt auf beiden Seiten, interessiert für die vorgelegte Aufgabenstellung nicht. (Wenn man allerdings den Wert des rechten Integrals kennt, so könnte man natürlich auch auf andere Art versuchen zu zeigen, dass die linke Folge gegen ebendiesen Wert konvergiert - womit dann ebenfalls die Identität bewiesen wäre...)

09.09.2011, 16:39

Gast11022013

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Habe ich das jetzt richtig verstanden, daß bei einem Integral zwar unendlich herauskommen kann, dass aber bei dem Betrag kleiner unendlich herauskommen muss, damit man sagt, sie ist integrierbar?

Ist das der Grund, wieso man die majorisierte Konvergenz nicht nehmen kann?

Weil die Majorante integrierbar sein muss (also Integral über Betrag kleiner unendlich), aber Grenzfunktion (die als Majorante dienen könnte) ist ja eben gerade nicht kleiner unendlich, wenn man ihren Betrag integriert?

Eine andere Frage: Warum sind die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ meßbar? Wie sieht man das?

Weil Urbildbereich [2,4] und Bildbereich reelle Zahlen und Stetigkeit?

09.09.2011, 16:56

Gast11022013

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Und was ich auch nicht verstehe, ist Folgendes. Bei Forster lautet der Satz von der monotonen Konvergenz so:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{U},\mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray*} f_1\leq f_2\leq\hdots\leq f_k\leq f_{k+1}\leq\hdots \end{eqnarray*}$

eine monoton wachsende Folge von integrierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k:\Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gebe eine Schranke $\begin{eqnarray*} M<\infty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int f_kd\mu\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist auch die Funktion $\begin{eqnarray*} f:=\lim_k f_k:\Omega\to\overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt

$\begin{eqnarray*} \int fd\mu=\lim_{k\to\infty}\int f_kd\mu \end{eqnarray*}$ .

Oben hieß es, man könne den Satz von der monotonen Konvergenz hier anwenden.
Aber hier heißt es doch, daß dann die Grenzfunktion auch integrierbar ist, dem ist doch aber nicht so, wenn man damit wieder $\begin{eqnarray*} \int\vert f\vert d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ meint. Und das mit der Schranke M stimmt hier doch auch nicht für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Okay, ich habe gerade gelesen, daß dies nur eine spezielle Variante des Satzes von der monotonen Konvergenz ist, die hier also eben nicht zutrifft.

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