Integration: Es ex. eindeutige Zahlen ...

01.12.2006, 21:16	Sera	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration: Es ex. eindeutige Zahlen ... Wir haben als Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} a \leq x_0 < x_2 < ... < x_n \leq b \end{eqnarray}$ eine beliebige, vorgegebene Unterteilung des Intervalls [a,b]. Zeige, dass es eindeutige Zahlen $\begin{eqnarray} \gamma_0, \gamma_1,...,\gamma_n \end{eqnarray}$ gibt, mit: $\begin{eqnarray} \int_a^b p(x) dx = \sum_{i=0}^n \gamma_i p(x_i) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} p \in \mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ Auf welches Verfahren wird denn hier angespielt? Mein erster Gedanke war die Mittelwertsatz der Integralrechnung indem ich das Integral entsprechend der Unterteilung zerlege und auf jedes Teilstück den MWS anwende. Aber ich habe dabei ein Teilstück zuviel, denn ich habe n+1 Summanden, aber n+2 "Teilintegrale". Kann jemand helfen?
01.12.2006, 21:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ sollen wahrscheinlich die Polynome maximal n-ten Grades sein, richtig? Sowas solltest du dazusagen, das ist kein allgemein anerkanntes Symbol. Zur Lösung: Nix mit MWS, du sollst hier zeigen, dass es Koeffizienten $\begin{eqnarray} \gamma_0,\gamma_1,\ldots,\gamma_n \end{eqnarray}$ gibt, so dass die Gleichung für alle Polynome $\begin{eqnarray} p\in\mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ gilt. D.h. insbesondere, dass diese Koeffizienten zwar von den $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ , aber nicht vom Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ abhängen dürfen! Du musst einfach den allgemeinen Polynomansatz $\begin{eqnarray} p(x) = \sum\limits_{k=0}^n ~ a_k x^k \end{eqnarray}$ links und rechts in die Gleichung einsetzen und das Integral auflösen - sollte kein Problem sein bei einem Polynom. Die entstehende Gleichung soll für alle $\begin{eqnarray} p\in\mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ , also für alle Koeffiziententupel $\begin{eqnarray} (a_0,a_1,\ldots,a_n) \end{eqnarray}$ gelten - das klappt nur über einen Koeffizientenvergleich bzgl. der einzelnen $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ . Und dieser Koeffizientenvergleich wiederum liefert ein lineares Gleichungssystem mit (n+1) Gleichungen für die (n+1) Variablen $\begin{eqnarray} \gamma_0,\gamma_1,\ldots,\gamma_n \end{eqnarray}$ ... Erstmal genug verraten.
01.12.2006, 23:06	Sera	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Gott! An das naheligende Einsetzen habe ich natürlich nicht gedacht. Vielen Dank! Das mit $\begin{eqnarray} \mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ werde ich mir für die Zukunft merken. Ich dachte $\begin{eqnarray} \mathcal{P}_n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \Pi_n \end{eqnarray}$ wäre Quasi-Standard.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »