Schnittwinkel gegeben, Punkte berechnen

14.03.2011, 17:18	LenaLu	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel gegeben, Punkte berechnen Meine Frage: geg:f(x)=x² Es gibt die Punkte P und Q zweier Tangenten an den Graphen,die sich schneiden. P spiegelt den Punkt Q an der zweiten Achse. Gegeben ist der Schnittwinkel (45°) der beiden Tangenten. Ich soll nun die Punkte P und Q ermitteln. Meine Ideen: also ich hab mir gedacht,dass ich die Formel tan(alpha)=delta Y / delta x tan(45°)=1 Ich bilde die ableitung: f'(x)=2x=m=1 2x=1 / : 2 x=1/2 Ist das Richtig? Kann ich das so machen? Kommt mir irgendwie zu leicht vor?...Da muss es doch einen Hacken geben. Danke schonmal im Voraus
15.03.2011, 00:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Hacken gibt's nicht, wohl aber einen Haen. Du hast den Tangens des Schnittwinkels mit der Steigung gleichgesetzt, und dies ist falsch. Für den Schnittwinkel gilt: $\begin{eqnarray} \tan \varphi = \frac {m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 1 = \frac {m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \end{eqnarray}$ Setze dort jetzt für m1 = 2x und für m2 = -2x und löse nach x mY+
15.03.2011, 16:19	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
.... Danke erstmal. Die Formel für den Steigungswinkel kenne ich noch nicht. Wie kommt die Formel denn zustande? Gibt es noch einen anderen Weg,diese Aufgabe zu lösen? LG Lena
15.03.2011, 23:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel kommt nach Anwendung des 1. Additionstheorems für den TAN zustande. Denn der Winkel, den zwei Geraden miteinander einschließen, ist die Differenz der Winkel, den die beiden Geraden mit der (positiven!) x-Achse einschließen. $\begin{eqnarray} m_1 = \tan \alpha_1 \ , \ m_2 = \tan \alpha_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi = \alpha_1 - \alpha_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan (\alpha_1 - \alpha_2) = \frac {\tan \alpha_1 - \tan \alpha_2}{1 - \tan \alpha_1 \tan \alpha_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Ist doch eingentlich recht einfach, oder? mY+
15.03.2011, 23:44	LenaLi	Auf diesen Beitrag antworten »
... Die Formel an sich ja. Nur ,wenn ich die Werte eingebe,ist die Aufgabe nicht lösbar. Kann es sein das m1 und m2 nicht vertauscht wurden? Ich hab da noch einen Lösungsweg. Die Punkte P und Q sind ja achsensymmetrisch. Könnte ich den Winkel 45° nicht halbieren.Von dem halbierten Winkel Tangens bestimmen und es dann mit 2x gleichsetzen?
16.03.2011, 00:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auch dieser Weg ist möglich Noch zum Einsetzen in die Formel: $\begin{eqnarray} m_1 = 2x, \ m_2 = -2x \ \to \ 1 - 4x^2 = 4x \end{eqnarray}$ Und da ergibt sich schnell für x ein realistischer Wert. mY+
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