vollständig

01.12.2006, 21:53

Ambrosius

vollständig

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (C^1([0,1]), || \cdot ||_{\infty}) \end{eqnarray*}$ nicht vollständig ist.

Jetzt muss ich also eine Cauchyfolge finden, deren Grenzwert nicht differenzierbar ist, richtig?

Ich komme nur auf keine Idee. Hab schon versucht eine Folge zu finden die gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-\frac{1}{2}| \end{eqnarray*}$ konvergiert. Jemand nen Tipp?

EDIT:

Da kam mir doch glatt noch ne Idee. ich setze $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ Die Folge konvergiert in der Supnorm gegen 1.5, genauso wie die obige Fkt f. Somit konvergiert die Folge gleichmäßig gegen f. aber f ist nicht diffbar. Wäre das ein gegenbeispiel?

01.12.2006, 22:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständig
Hmm. Dein f_n konvergiert nicht einmal punktweise gegen f. Würde nicht auch f_n(x) = x^n gehen?

01.12.2006, 22:31

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständig
Es soll auch so heißen: $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann den punktweisen limes berechne, kann ich limes und wurzel vertauschen und dann müsste das doch gehen

EDIT: Jetzt wo ich drüber nachdenke, sollte wohl auch x^n gehen. dann bekomme ich eine unstetige grenzfunktion und die ist sicherlich nicht diffbar.

Aber mich würde trotzdem interessieren ob meine idee auch geht

02.12.2006, 12:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständig

Zitat:

Original von Ambrosius
Da kam mir doch glatt noch ne Idee. ich setze $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ Die Folge konvergiert in der Supnorm gegen 1.5, genauso wie die obige Fkt f. Somit konvergiert die Folge gleichmäßig gegen f. aber f ist nicht diffbar. Wäre das ein gegenbeispiel?

Als Gegenbeispiel kannst du $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ nehmen. Ich habe aber noch was an deinen Formulierungen auszusetzen:

"Die Folge konvergiert in der Supnorm gegen 1.5". Mal abgesehen davon, daß der Wert nicht stimmt, müßte als Ergebnisder Konvergenz eine Funktion da stehen. Allenfalls kann man sagen, daß die Folge der Supnormen gegen ... konvergiert.

"Somit konvergiert die Folge gleichmäßig gegen f". Unfug. Für die gleichmäßige Konvergenz mußt du die Folge der Supnormen der Differenz f_n - f betrachten. Die muß gegen Null konvergieren.

02.12.2006, 17:46

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, meine formulierungen sind immer sehr ungenau *schäm*

die supremumsnorm ist doch nix weiter als der maximale funktionswert auf dem intervall?

02.12.2006, 18:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ambrosius
die supremumsnorm ist doch nix weiter als der maximale funktionswert auf dem intervall?

In der Regel ja, z.B. bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen. Aber da gibt es auch "gemeine" Funktionen. Deswegen sollte man solche Merkregeln mit Vorsicht genießen.

04.12.2006, 12:02

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständig
Ich nehme nun also die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ . Dann hab ich mir folgendes Vorgehen ausgedacht:

1. zeige, das $\begin{eqnarray*} f_n (x) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-\frac{1}{2}| \end{eqnarray*}$ punktweise konvergiert

2. Wenn $\begin{eqnarray*} f_n (x) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-\frac{1}{2}| \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert, dann ist der gleichmäßige Grenzwert gleich dem punktweisen. Also zeige dass $\begin{eqnarray*} ||f_n(x) - f(x) ||_{\infty} \stackrel{n \to \infty}{\to} 0 \end{eqnarray*}$

3. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht diffbar ist in 0.5, habe ich gezeigt das der Raum nicht vollständig ist.

geht das so?

04.12.2006, 13:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständig
Keine Einwände.

04.12.2006, 15:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest vielleicht noch zeigen, dass alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar sind!

edit: Im Übrigen dient $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ hier nicht als Gegenbeispiel! Jedes $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist stetig, die punktweise Grenzfunktion ist unstetig, also kann die Konvergenz gar nicht gleichmäßig sein!

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

vollständig

Verwandte Themen