DGL 2.Ord. mit Störglied

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14.03.2011, 17:58	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2.Ord. mit Störglied Moin, stehe vor volgender Aufgabe: y´´+8y´-9y = 2e^(-9x) wollte mal fragen ob ich bis hierher richtig vorgehe? D= $\begin{eqnarray} \frac{a^{2} }{4} - b = \frac{8^{2} }{4} - 9 = 7 \end{eqnarray}$ D > 0 also Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k1,2= -\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2} }{4} } - b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k1,2= -\frac{8}{2} \pm \sqrt{\frac{8^{2} }{4} } +9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -4 \pm \sqrt{25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_1 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2 = -9 \end{eqnarray}$ und dann k1 und k2 in den Lösungsansatz.
14.03.2011, 18:03	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, unter der Wurzel steht -b. Und dein b ist -9. Also muss dort ein + 9 stehen, was auch eine "schönere" Wurzel nach sich zieht. Weißt du, wie es dann weiter geht? Du hast jetzt die homogene Lösung bestimmt, du brauchst noch eine partikuläre.
14.03.2011, 18:09	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh man wie schnell man das übersieht! danke! hab´s oben verbessert. weiter weiß ich nicht ganz genau.... bzw weiß nicht den Lösungsansatz für das Störglied
14.03.2011, 18:17	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hier rein. Und gleich ein Tipp: -9 ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
14.03.2011, 18:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE für diesen Link, der rettet auch mich!
14.03.2011, 18:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
, am besten als Lesezeichen speichern, so was. Hilft immer öfter.
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14.03.2011, 18:44	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist der Ansatz $\begin{eqnarray} Ax\cdot e^{\alpha x} \end{eqnarray}$ aber was mache ich dann weiter?
14.03.2011, 18:44	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl. Und $\begin{eqnarray} \alpha = -9 \end{eqnarray}$ . Edit: Du musst diese Funktion $\begin{eqnarray} y_p = Ax \cdot e^{-9x} \end{eqnarray}$ in die DGL einsetzen.
14.03.2011, 18:49	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja, also 2 mal ableiten und dann in die DGL einsetzen?
14.03.2011, 19:04	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir das hier mal jemand darstellen?
14.03.2011, 19:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast das doch schon ganz richtig erkannt. Leite diese Funktion einmal bwz. zweimal ab und setzte ein, so bekommst du heraus, was das A sein muss.
14.03.2011, 20:34	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
also: f = Ax * e^(-9x) f´= A * e°(-9x) + Ax * -9e^(-9x) = Ae^(-9x) + -9Axe^(-9x) f´´= -9Ae^(-9x) - 81Axe^(-9x) ?
14.03.2011, 21:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
So, wie ich das sehe, hast du bei der zweiten Ableitung die Produktregel nicht genutzt, oder? Klammere den e-Term besser aus in der ersten Ableitung. Dann musst du die beiden Ableitungen in die DGL einsetzen.
15.03.2011, 11:15	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
f´´= ( 0 * e^(-9x) + A * -9e^(-9x) ) + (A * -9e^(-9x) + Ax * 81e^(-9x) = A * -9e^(-9x) + A * -9e^(-9x) + Ax 81e^(-9x)
15.03.2011, 11:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, dann schreib ich das noch mal "in schön" auf, auch gleich den e-Term ausgeklammert: $\begin{eqnarray} y_p(x) = Ax \cdot e^{-9x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_p'(x) = e^{-9x} \cdot (A - 9Ax) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_p''(x) = -9e^{-9x} \cdot (A - 9A - 9Ax) = -9^{-9x} \cdot ( -8A - 9Ax) \end{eqnarray}$ So, diese drei Ableitungen setzt du jetzt in die DGL ein und löst nach A auf.
15.03.2011, 11:51	jonas steffen	Auf diesen Beitrag antworten »
;-) ok vielen dank!!!! du hast mir echt total geholfen!!
15.03.2011, 11:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn für A heraus? Ich hab's nämlich auch gerechnet, da können wir uns gegenseitig bestätigen.
01.04.2011, 13:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch nochmal eine Frage zu dem Link: In der Tabelle zu den Lösungsansätzen, z.b. gleich bei dem Fall, wo die Störfunktion ein Polynom n-ten Grades ist: Was bedeuten da diese Fall unterscheidungen in der rechten Tabellenspalte? Mir leuchtet nur der erste Fall ein, dass man die Lösung als Polynom n-ten Grades ansetzt, aber was bedeuten die anderen Fälle dort?
01.04.2011, 14:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Was a und b sind, steht ganz oben, erste Zeile. Dieses Dokument drückt es anders aus: Es kommt darauf an, ob 0 eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist.

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