Arten von Abbildungen

14.03.2011, 18:21

jaybe89

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Arten von Abbildungen

Hallo,
Habe folgengen Matrix gegeben:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{vmatrix} 0 & -4 & 4 \\ 2 & -6 & 4 \\ 2 & -4 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich Eigenwerte, Eigenvektoren, AV, GV, S und D bestimmt habe kommt nun im nächsten Aufgabenteil die Frage nach der "Art" der Abbildung.

Habe mal ein wenig gegoogelt aber nicht viel gefunden, was mir die Sache wirklich erklärt.
Soviel ich weiß gibt es folgende Arten: Drehung, Spiegelung und Streckung.

Jetzt ist meine Frage: Woher weiß ich wann was ist und wie man vorgeht ?

Gruß
Johannes

15.03.2011, 07:15

addor

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RE: Arten von Abbildungen
So ganz auf die Schelle vermutet, könnte die Frage danach gestellt sein, ob die Abbildung In- oder Surjektiv ist, was meinst Du?

Du machst ja ein bisschen ein geheimnis um die Aufgabe und verrätst nicht viel. Dann ist es schwer, zu helfen (was ist z.B. AV, GV, D und S? S = Spur und D = Determinate? Und AV? Aber ist ja egal).

Die Matrix hat Rang 2. Die dazugehörige Abbildung ist ein Epimorphismus. Vielleicht wollen sie das hören....

15.03.2011, 09:56

Reksilat

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RE: Arten von Abbildungen
AV=algebarische Vielfachheit? verwirrt

verwirrt

Jedenfalls solltest Du Deine Ergebnisse (EW,EV,...) auch mal mitteilen - das würde uns Helfern zumindest ein paar Rechnungen ersparen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

15.03.2011, 10:56

jaybe89

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Sry Leute!

Hier nochmal die ganze Aufgabenstellung:
a.) Berechne alle Eigenwerte und alle zugehörigen Eigenvektoren von A.
b.)Gib für alle Eigenwerte die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten an.
c.)Gib eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D an, so dass $\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$
d.)Welche Art von Abbildung wird durch A beschrieben? (d.h. Drehung um eine Achse oder...)?

Ergebnisse:

a.)
Eigenwerte:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0, \lambda_1=-2, \lambda_1=-2 \end{eqnarray*}$

Eigenvektoren:
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b.)
Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$
AV=1, GV=1

Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =-2 \end{eqnarray*}$
AV=2, GV=2

c.)
$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=diag(0,-2,-2) \end{eqnarray*}$

Und meine Frage geht um die d.). Ich weiß nicht, was ich machen soll.

15.03.2011, 11:21

Reksilat

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Damit lässt sich doch was machen.
Die Matrix A ist zur Matrix D ähnlich und das heißt, dass sie geometrisch etwa das gleiche machen. Es geht jetzt also darum, zu beschreiben, was für eine Abbildung die Matrix D bewirkt.

Dabei wirst Du eine Zusammensetzung dreier Arten von Transformationen sehen können.

15.03.2011, 11:56

jaybe89

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Hmmm. Irgendwie bringt mich das nicht weiter. Was muss ich denn jetzt machen ???

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15.03.2011, 12:14

Reksilat

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Na zum Beispiel ist doch
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Kannst Du zu diesen Matrizen etwas sagen?

Gruß,
Reksilat.

15.03.2011, 12:31

jaybe89

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Genau das ist es ja. Ich kann daran leider nichts ablesen. unglücklich

unglücklich

Außer das ist halt Diagonalmatrizen sind.

15.03.2011, 12:36

Reksilat

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Das ist schlecht, denn wie willst Du Drehungen, Spiegelungen und Streckungen identifizieren, wenn Du nicht mal ansatzweise weißt, wie sie aussehen?
Allerdings kann man sich auch so herleiten, was die oben aufgeführten Matrizen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bewirken. Man muss sich nur anschauen, was sie mit einzelnen Vektoren machen.

Letztlich kann man sich auch erst mal ähnlich aussehende Matrizen für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ angucken, um ein Gefühl zu bekommen.

15.03.2011, 12:42

jaybe89

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Kannst du mir kurz erklären wie man Drehung, Spiegelung und Streckung erkennt ?
Oder einen Verweis auf eine Erklärung. Vll. finde ich es dann heruas.

Auf was muss man denn gucken um zu erkennen um welche Art es sich handelt ?

15.03.2011, 12:51

Reksilat

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http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatentransformation
Und Links zu einzelnen Begriffen folgen.

Außerdem habe ich doch gesagt, dass Du da auch mal ein wenig rumprobieren musst. Wenn ich Dir sage: "Das und das ist eine Spiegelung", dann verstehst Du es dadurch ja auch nicht besser.

15.03.2011, 13:51

jaybe89

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Also. Ich hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden:

Meiner Meinung nach müsste es sich um eine Streckung handeln, da
$\begin{eqnarray*} x_i'=\lambda_i\cdot x_i \end{eqnarray*}$
und somit die Koordinaten einfach mit der Matrix gestreckt werden.

Richtig ??

15.03.2011, 14:00

Reksilat

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Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i>1 \end{eqnarray*}$ ist, dann wird die zugehörige Koordinate gestreckt.
Wenn $\begin{eqnarray*} 0<\lambda_i<1 \end{eqnarray*}$ ist, dann wird die zugehörige Koordinate gestaucht.
Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i=1 \end{eqnarray*}$ ist, so bleibt sie gleich.

Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i=-1 \end{eqnarray*}$ ist?
Was, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ ist?

Der Begriff Streckung ist da viel zu allgemein.

Immerhin die dritte Matrix beschreibt eine Streckung um den Streckungsfaktor 2, d.h. eine maßstabsgetreue Vergrößerung aller Längen auf das doppelte

15.03.2011, 14:15

jaybe89

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Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i=-1 \end{eqnarray*}$ , dann handelt es sich um eine Drehung oder Spiegelung.

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre dann die Spiegelung an der x-Achse

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Das versteh ich noch nicht so ganz. Ich vermute mal stark, dass es sich um eine Drehung handelt ohne es aber begründen zu können.

Was ist eigentlich wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i<-1 \end{eqnarray*}$ ?? Das haben wir ja bei der Matrix A.

15.03.2011, 14:26

Reksilat

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Wenn einer der Diagonaleinträge -1 ist, dann handelt es sich um eine Spiegelung an der Ebene, die von den restlichen Koordinatenachsen aufgespannt wird.

Hier sind aber zwei Einträge -1 und das...

Zitat:

...wäre dann die Spiegelung an der x-Achse

Wie würdest Du denn etwas an einer Achse spiegeln? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie man etwas an einer Ebene spiegelt ist klar, das kann man jeden morgen beim Zähneputzen beobachten.
Ich würde es eher als Drehung interpretieren und zwar als Drehung um... im Winkel von...

Zitat:

Was ist eigentlich wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_i<-1 \end{eqnarray*}$ ?? Das haben wir ja bei der Matrix A.

Und eben dafür haben wir die Matrix zerlegt – damit wir das als Zusammensetzung verschiedener Abbildungen beschreiben können. Wir wollen das ja etwas genauer interpretieren.

Zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ :
Was macht denn diese Abbildung mit verschiedenen Vektoren? Beschreibe das doch mal.

15.03.2011, 14:43

jaybe89

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War das mit der Spiegelung jetzt richtig ? Also, dass es eine Spiegelung an der x-Achse ist ? Wieso kommst du auf Drehung ?

Zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ :

Ausgeschrieben wäre es doch folgendes: $\begin{eqnarray*} <br /> x_1'=0<br /> x_2'=x_2<br /> x_3'=x_3 \end{eqnarray*}$
Das bedeute doch, dass daraus eine Ebene wird, da alle x-Werte Null sind und die anderen Koordinaten gleichgeblieben sind.

15.03.2011, 14:56

Reksilat

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Zitat:

Also, dass es eine Spiegelung an der x-Achse ist ? Wieso kommst du auf Drehung ?

Weil man das auch als Drehung um die x-Achse interpretieren kann. Ist mir persönlich lieber, aber wenn Du damit zufrieden bist und Dir das geometrisch vorstellen kannst, dann kannst Du es auch als Spiegelung an einer Achse sehen.

Zur anderen Matrix:
Richtig, man bildet den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eine Ebene ab.
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_(Mathematik)

15.03.2011, 15:01

jaybe89

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Vielen Dank!
Um nochmal auf die Frage zurück zu kommen:
Wenn ich diese Frage gestellt bekomme muss ich dann die Diagonalmatrix betrachten und diese zerlegen wie wir es gemacht haben?
Denn eigentlich ging es doch um die Matrix A.
Was ist denn nun das Ergebnis der Aufgabe ?

15.03.2011, 15:16

Reksilat

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Ich habe die Frage nicht gestellt, deshalb weiß ich auch nicht, was erwartet wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber aus der ursprünglich gegebenen Form kann man eigentlich nichts ablesen. Die Diagonalmatrix D ist ähnlich zu A und insofern geometrisch vergleichbar - sie bewirkt das gleiche, allerdings bezüglich eines anderen Koordinatensystems (dessen Achsen nicht mal senkrecht aufeinanderstehen).

Die Matrix D bewirkt eine Hintereinanderausführung von drei geometrisch gut zu veranschaulichenden Abbildungen. Die Matrix A ist dazu ähnlich. Mehr kann ich leider auch nicht dazu sagen.

15.03.2011, 15:27

jaybe89

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OK. Trotzdem vielen vielen Dank! Freude

Freude

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