Komplexe Lösungen von w^3 = 8i

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14.03.2011, 23:10	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Lösungen von w^3 = 8i Hallo. Aufgabe: Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} w^3 = 8i \end{eqnarray}$ (a) mit Hilfe von Polarkoordinaten (b) mit Hilfe des Ansatzes $\begin{eqnarray} w = a+bi, a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Erstmal die a) $\begin{eqnarray} w^3 = 8i \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} r = \sqrt{a^2 + b^2} = 8, \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = -8 \end{eqnarray}$ . 2. $\begin{eqnarray} \varphi = \arccos{\frac{x}{r}} = \arccos{\frac{0}{8}} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Wie mache ich da weiter? Zur b) hab ich noch gar keine Idee ZBJ //EDIT: Bin da wohl eine Zeile drunter gerutscht, habs angepasst
14.03.2011, 23:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Lösungen von w^3 = 8i Beginnen wir bei (a). Wie lauten die Polarkoordinaten von w³?
14.03.2011, 23:30	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Polarkoodinaten werden mit $\begin{eqnarray} w = r \cdot \left( cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi) \right) \end{eqnarray}$ angegeben. Daher: $\begin{eqnarray} w = 8 \cdot \left(cos(\frac{\pi}{2}) + i \cdot sin(\frac{\pi}{2})\right) \end{eqnarray}$ Daher ist dann $\begin{eqnarray} w^3: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w^3 = 8^3 \cdot \left(cos(\frac{3\pi}{2}) + i \cdot sin(\frac{3\pi}{2})\right) \end{eqnarray}$
14.03.2011, 23:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So, nun weißt du, wie man in Polarkoordinaten multipliziert. Was bekommen wir für "r" dann raus, also bei w? edit: w kennst du doch nicht, w suchen wir! Nochmal also!
14.03.2011, 23:41	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liegt es auch an der späten Stunde, aber du verwirrst mich sichtlich r = 8 bei w, oder ?
14.03.2011, 23:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe halt diese Wirkung. Es ist doch $\begin{eqnarray} w^3 = 8i = 0 + 8i \end{eqnarray}$ . Damit folgt $\begin{eqnarray} r_{w^3}=\|w^3\| = 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} r_{w} \end{eqnarray}$ ?
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14.03.2011, 23:47	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
3tte Wurzel 8, also 2.
14.03.2011, 23:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Welchen Winkel haben wir bei w³?
14.03.2011, 23:51	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2}, \end{eqnarray}$ also haben wir bei w den Winkel 3tte Wurzel $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$
14.03.2011, 23:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wie kann man nun einen Lösungswinkel von w ausrechnen? Eben hast du die dritte Wurzel gezogen, was machst du nun?
14.03.2011, 23:54	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Moivresche Formel mit n = 1/3 anwenden?
15.03.2011, 00:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, n=3. Aber ja, du musst den Winkel durch 3 teilen. Damit kannst du dann auch recht einfach die anderen beiden Lösungen bestimmen.
15.03.2011, 00:07	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab da jetzt: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{z} = 2 \cdot [cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot sin(\frac{\pi}{6})] = \sqrt{3} + i \end{eqnarray}$ Wie komme ich da jetzt auf die 3 Lösungen? Etwa beide Seiten mit 3 Potenzieren? $\begin{eqnarray} z = (\sqrt{3} + i)^3 \end{eqnarray}$
15.03.2011, 00:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die erste Lösung $\begin{eqnarray} w = 2\cdot \left(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{6})\right) \end{eqnarray}$ Nun denke mal anschaulich. Was sind die anderen beiden Lösungen in Polarkoordinaten?
15.03.2011, 00:17	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, da hängts :< Ich weiss dasses was mit Einheitskreis zu tun hat
15.03.2011, 00:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss modulol 360° denken.
15.03.2011, 00:21	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
360° sind $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ , also zu den $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ 2 pi addieren? )) da rate ich aber gerade
15.03.2011, 00:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das merke ich. Es muss beim dazugezählten ja 0 mod 360 rauskommen.
15.03.2011, 00:26	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
bei einer anderen Aufgabe im Skript wird immer zu $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{k \cdot \pi}{2} \end{eqnarray}$ dazugezählt, für $\begin{eqnarray} k = 0, 1, 2, ..., n - 1 \end{eqnarray}$ nur verstehe ich immernoch nicht warum
15.03.2011, 00:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
warm, aber noch nicht heiß.
15.03.2011, 00:28	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, anscheinend wird dann der einheitskreis in ein n-eckiges teil umgebaut , bei n = 4 (wie im Skript) ist es also $\begin{eqnarray} \frac{2 \cdot \pi}{4} \end{eqnarray}$ Bei uns ist aber n = 3, also muss $\begin{eqnarray} \frac{2 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray}$ zuaddiert werden? richtig, richtig, richtig?^^ wenns richtig ist, bin ich stolz // EDIT: Hatte deinen folgenden Beitrag noch nicht gesehen.
15.03.2011, 00:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss halt mal 3 ein Vielfaches von 360° rauskommen. Wie baut man sich so was? Man wird irgendwo mit "Dritteln" arbeiten, oder?
15.03.2011, 00:33	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
hab meinen obigen beitrag editiert.
15.03.2011, 00:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ist es schon heiß. Aber ist "2/3" die einzige Möglichkeit? So richtig scheinst du die Idee noch nicht verstanden zu haben.
15.03.2011, 00:38	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich nicht, es gibt unendlich viele mglkeiten. so z.B. 4/3 pi oder? gibst du mir noch ne 2te übungsaufgabe?
15.03.2011, 00:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
MOMENT. Nun mal nicht spitzfindig werden, wenn du von 3 Lösungen [die wir suchen] erst 2 gefunden hast.
15.03.2011, 00:42	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
warum? wir haben zu $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ dazugezählt: $\begin{eqnarray} \frac{k \cdot 2 \pi}{3} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k = 0, 1, 2 \end{eqnarray}$ Damit haben wir doch alle (3) Lösungen?
15.03.2011, 00:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt, wo du es richtig präsentierst, ja. Vorher hattest du im Nenner eine 2, statt einem n in der allgemeinen Formel. Prinzip nun klar?
15.03.2011, 00:53	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Rechnen kann ich es jetzt. Danke! Was mir aber noch unklar ist, warum die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl immer symmetrisch um den Nullpunkt verteilt auf den Ecken eines regelmäaßigen n-Ecks liegen.
15.03.2011, 00:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber im Grunde zeigt die Formel das doch...
15.03.2011, 01:04	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist vielleicht auch zu spät Danke schonmal für die nächtliche Hilfe! Werde jetzt noch einen Einschlafspaziergang machen und komplex Denken Gute nacht! P.S.: Ich würde morgen gern hier mit der Aufgabe b weitermachen, versuche ich diese morgen allerdings nochmal und melde mich dann hier wenn ich nicht weiterkomme.
15.03.2011, 01:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann nicht versprechen on zu sein, aber irgendwer ist schon da. Verlauf dich nicht!

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