Irrationale Zahlen

02.12.2006, 00:22

ErRoRr-FuNCtiOn

Irrationale Zahlen

Zeige dass die irrationalen Zahlen dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind,das heißt in jedem nichtleeren , offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es eine irrationale Zahl.

Also ich hab jetzt mal folgendermaßen angefangen.

$\begin{eqnarray*} a,b \in \epsilon \end{eqnarray*}$ , und mit der Annahme: $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gibt es eine irrationale Zahl $\begin{eqnarray*} z = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<z<b \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich jetzt nicht mehr weiter.
Wie kann ich meinen Beweis dazu schreiben? Kann mir jemand weiter helfen?
Oder ist das bis jetzt überhaupt richtig bzw. was kann man besser machen?

02.12.2006, 10:11

Frooke

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Die Aussage $\begin{eqnarray*} z=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ verwirrt mich etwas: Entweder Du meinst $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , dann wär es aber falsch, oder ich verstehe es einfach nicht. Du sollst doch zeigen, dass es für $\begin{eqnarray*} I=(a,b) \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} z\in I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \in\mathbb R\backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Mein Hinweis betrachte mal $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und «verschiebe» diese Zahl passend. Beweise dann, dass die gefundene Zahl irrational ist.

Musst Du auch beweisen, dass es in jedem solchen Intervall eine rationale Zahl gibt?

02.12.2006, 12:54

ErRoRr-FuNCtiOn

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Was meinst du mit "verschieben"?
Wie kann ich dann beweisen dass die gefundene Zahl irrational ist?
Das hab ich noch nicht ganz kapiert?

03.12.2006, 14:23

Frooke

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Nun:

$\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow a<a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b \end{eqnarray*}$

Versuch, Dir das mal klar zu machen.

Wie kannst Du nun beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} z:=a+\frac{b-a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ irrational ist?

Nehme an, es gebe

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}=a+\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

und führe zu einem Widerspruch.

03.12.2006, 14:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow a<a+\frac{a+b}{\sqrt{2}}<b \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, s. $\begin{eqnarray*} a=1,b=2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

03.12.2006, 19:13

Frooke

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Sorry, ich meinte

$\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow a<a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b \end{eqnarray*}$

Ich editier's oben!

EDIT: Danke Max.

03.12.2006, 19:19

habac

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Setze die Intervallänge $\begin{eqnarray*} b-a=l \end{eqnarray*}$ . Sei n eine genügend grosse natürlicherliche Zahl. Betrachte die Zahlen

$\begin{eqnarray*} k\cdot\frac{\sqrt{2}}{n} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen k. Diese Zahlen haben auf der Zahlengeraden den Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{ n} \end{eqnarray*}$ . Mindestens eine dieser irrationalen Zahlen liegt im Intervall und irrational ist sie auch.

Gruss

habac

03.12.2006, 23:31

Mathespezialschüler

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@Frooke
Für $\begin{eqnarray*} a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}=4 \end{eqnarray*}$ , also rational!

Gruß MSS

04.12.2006, 03:19

ArminTempsarian

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Falls ihr schon bewiesen habt, dass Q dicht in IR liegt, kannst du das benutzen. Sei (a,b) nicht leer, dann gibt es eíne rationale Zahl q aus (a+sqrt2, b+sqrt2) usw.

EDIT: Wenn du meinen Namen in die Board-Suchmaschine eingibst, wirst du auf der zweiten Seite einen einschlägigen Eintrag finden.

04.12.2006, 07:22

Leopold

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Vielleicht hilft dieses Beispiel. Es läßt sich leicht verallgemeinern, wobei die Hauptschwierigkeit sein dürfte: Und wie formuliere ich das jetzt unmißverständlich?

04.12.2006, 17:16

Frooke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Frooke
Für $\begin{eqnarray*} a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}=4 \end{eqnarray*}$ , also rational!

Gruß MSS

Krass, ich hatte das so abgegeben und das wurde als richtig anerkannt... Daran hatte ich nicht gedacht, sorry...

04.12.2006, 17:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke
Krass, ich hatte das so abgegeben und das wurde als richtig anerkannt... Daran hatte ich nicht gedacht, sorry...

Vielleicht war ja in deiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt?

Gruß MSS

04.12.2006, 17:53

Frooke

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Eben nicht, aber man kann ja ohne weiteres zwischen zwei Zahlen a und b zwei rationale Zahlen c und d wählen, so dass c<d und dann darauf mein Gestümper anwenden, dann klappt's smile

. Aber sorry für den Fauxpas.

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