Symmetriegruppe |
| 15.03.2011, 12:25 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Symmetriegruppe Kann mir jemand erklären, wieso es bei der Symmetriegruppe des Hexaeders reicht, sich die Drehgruppe anzuschauen? Meine Ideen: Bisher weiß ich, dass es mit dem direkten Produkt aus S4 x Z2 zu tun hat, aber was genau macht dieses Produkt? |
||||||||
| 15.03.2011, 15:36 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Wie soll das Hexaeder denn aussehen? Oder meinst Du einen Würfel? 
Gruß, Reksilat. |
||||||||
| 23.03.2011, 20:16 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Ja es geht um den Würfel. Z2 ist isomorph zu H={id,Ã}, wobei à die Punktspiegelung ist. Die Drehgruppe des Würfels enthält ja alle geraden Bwegungen, d.h. alle geraden Permutationen. Sie ist eine Untergruppe der "ganzen" Symmetriegruppe, die auch die ungeraden Bewegungen enthält. Nun soll wie gesagt, die Symmetriegruppe isomorph zum direkten Produkt aus Z2 (hier ja dann H) und der Drehgruppe sein. Die Frage ist, was bewirkt nun dieses direkte Produkt? Kommt es zu einer hintereinanderausführung, sodass die Permutation aus der Drehgruppe mit der id eine ungerade Permutation ergibt und somit die komplette symmetriegruppe auf diese weise erzeugt wird???? steh auf dem schlauch! |
||||||||
| 24.03.2011, 00:16 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Symmetriegruppe
Für mich ist die Symmetriegruppe des Würfels eine Untergruppe der , also der Symmetriegruppe auf den vier Ecken. Dann ist die Gruppe der Drehungen aber – und das sind nicht alles gerade Permutationen. Wenn Du das anders siehst, musst Du auch sagen, was Du mit "geraden Permutationen" meinst.
Die Drehgruppe ist abelsch und das direkte Produkt zweier abelscher Gruppen ist wieder abelsch. Die Symmetriegruppe des Quadrats ist aber nicht abelsch. Da stimmt also was nicht.
Das verstehe ich nicht.
Gruß, Reksilat. |
||||||||
| 24.03.2011, 00:36 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Also dann mach ich das mal mit den Worten von Fischer, der es so in seinem Buch: Einführung in die Algebra schreibt: Sym (W) Isomorphismus --> S4 x Z2 U U Sym+(W) Isomorphismus --> S4 Dazu wird folgendes beschrieben. O(3)= SO(3) U SO(3) * (-E3) isomorph zu SO(3) x Z2 wobei -E3 die Spiegelung am Ursprung beschreibt und Z2 zur schon genannten Untergruppe H isomorph. Daher sei auch: Sym (W) = Sym+(W) U Sym+(W) * ( -E3) isomorph zu Sym+(W) x Z2 wobei Sym (W) die Symmetriegruppe und Sym+(W) die Drehgruppe Vielleicht hilft dir das weiter....ich benötige wie gesagt jetzt die Erklärung,was das direkte Produkt macht, dass es reicht für die Drehgruppe zu zeigen, dass diese isomorph zu S4 ist! (und entschuldige wegen der Verwirrung davor, habe jetzt auch gemerkt, dass es sich nicht nur um gerade Permutationen handelt!) Gruß monkey |
||||||||
| 24.03.2011, 00:42 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Oben habe ich Quatsch geschrieben. Wir sind ja beim Würfel und nicht beim Quadrat. Ein Würfel hat acht Ecken und nicht vier. 
Ist spät und ich bin müde... Vielleicht auch ein Grund, weshalb ich Sätze wie
Ich guck morgen noch mal rein... Gruß, Reksilat. |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 24.03.2011, 10:32 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Okay! Also zu dem Satz, der unverständlich formuliert ist: Meine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Symmetriegruppe des Würfels isomorph zur S4 ist. Bei Fischer wird durch bereits beschriebenes gesagt, dass man sich dazu nur die Drehgruppe anschauen muss. Die Drehgruppe enthält alle Permutationen der S4. Was aber bedeutet das direkte Produkt von S4 x Z2? Wieso wird das geschrieben. Beispielsweise beim Tetraeder ist die Symmetriegruppe isomorph zur S4, die Drehgruppe aber isomorph zur A4. Was bedeutet also hier diese Schreibweise mit dem direkten Produkt? Und zu deiner Verwechslung mit dem Quadrat: Klar handelt es sich hierbei um den Würfel mit 8 Ecken. Aber man schaut sich die Diagonalen an. Von denen gibt es vier. Diese werden permutiert. |
||||||||
| 24.03.2011, 10:54 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Hi Monkey, Tut mir leid wegen gestern Abend. Ich war eigentlich schon zu müde, um noch irgendwas sinnvolles hier zu schreiben. 
Das mit der Drehgruppe, die man auf den Diagonalen operieren lässt, ergibt natürlich Sinn. Damit sieht man die auch gleich. Was man nun sehr schön sehen kann, ist, dass die Symmterien längenerhaltende, d.h. orthogonale Abbildungen sind. (Betrachte einfach den Mittelpunkt des Würfels als Koordinatenursprung.) Wir befinden uns also mit unserer Gruppe in der O(3). Die Drehungen liegen sogar in der SO(3). Die O(3) wird nun von den Drehungen und einer Punktspiegelung, hier -E3 bezeichnet, erzeugt. Diese Abbildung liegt aber im Zentrum der O(3), d.h. sie vertauscht mit allen anderen Abbildungen. Deshalb ist eben auch Das direkte Produkt bedeutet hier einfach nur, dass die beiden Untergruppen elementweise vertauschen. Ganz analog ist dann dann auch beim Würfel. Die Drehgruppe ist eine Untergruppe von Index 2 in der vollen Symmetriegruppe und demnach fehlt nur noch die Punktspiegelung, um die volle Symmetriegruppe zu erzeugen. – Diese vertauscht mit allen Drehungen und deshalb kann man das als direktes Produkt schreiben. Gruß, Reksilat. |
||||||||
| 24.03.2011, 17:41 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Ok, das ist mir jetzt schonmal ein ganzes Stück verständlicher geworden. Einzig den Satz: Diese Abbildung liegt aber im Zentrum der O(3), d.h. sie vertauscht mit allen anderen Abbildungen. und ...die beiden Untergruppen elementweise vertauschen ist mir noch etwas unverständlich. |
||||||||
| 24.03.2011, 20:04 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Sei . Dann ist . Die beiden Elemente vertauschen miteinander. D.h. es ist egal, in welcher Reihenfolge man die Abbildungen ausführt. Dass das gilt sieht man zum Beispiel, wenn man die Matrixmultiplikation mit betrachtet. Dass zwei Mengen und elementweise vertauschen bedeutet nur, dass für alle immer gilt. |
||||||||
| 25.03.2011, 10:48 | monkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe gut, und mit dem zweiten Element aus H, der id passiert nichts, da diese ja auf sich selbst abbildet oder? |
||||||||
| 25.03.2011, 11:07 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Symmetriegruppe Die Identität vertauscht sowieso mit allen anderen Elementen. |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
