Konvergenz Reihen

15.03.2011, 13:46

Pustefix91

Konvergenz Reihen

Hi. Ich habe hier noch Mal zwei Reihen die ich auf Konvergenz prüfen soll.
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^{n-1} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^n k } \end{eqnarray*}$

Zu a): Sei $\begin{eqnarray*} k = n -1 \Rightarrow a_{k} = (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})^{k} \end{eqnarray*}$ .
Das Wurzelkriterium darauf angewendet ergibt dann: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = \frac{1}{(\sqrt{k+2} +\sqrt{k+1})} \leq \frac{1}{(\sqrt{2} +\sqrt{1})} < 1 \end{eqnarray*}$ . Und somit ist die Reihe konvergent. Darf man das hier so anwenden?

Zu b): Hier habe ich das Quotientenkriterium angewendet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{k=1}^n k}{\sum\limits_{k=1}^{n+1} k} = \frac{(1+...+n)}{(1+...+n)+(n+1)} = \frac{1}{1+\frac{1+\frac{1}{n} }{\frac{1}{n}+...+1 } } \end{eqnarray*}$ .

Somit gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sum\limits_{k=1}^n k}{\sum\limits_{k=1}^{n+1} k} = \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$ . Also ist auch diese Reihe konvergent.

Würde mich freuen wenn jemand mal drüber schauen könnte. Gibt bestimmt sowohl inhaltlich, als auch formal einiges zu verbessern.

Schönen Gruß Pustefix91

15.03.2011, 14:35

klarsoweit

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RE: Konvergenz Reihen

Zitat:

Original von Pustefix91
Das Wurzelkriterium darauf angewendet ergibt dann: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = \frac{1}{(\sqrt{k+2} +\sqrt{k+1})} \leq \frac{1}{(\sqrt{2} +\sqrt{1})} < 1 \end{eqnarray*}$ . Und somit ist die Reihe konvergent. Darf man das hier so anwenden?

Ja.

Zitat:

Original von Pustefix91
Somit gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sum\limits_{k=1}^n k}{\sum\limits_{k=1}^{n+1} k} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Diese Schlußfolgerung ist falsch. (Eine Folge der gefährlichen Pünktchenschreibweise.)

Ich würde mich mal bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ an die Gaußsumme erinnern.

15.03.2011, 14:58

Pustefix91

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Alles klar. Danke smile

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