Reihe konvergiert?

15.03.2011, 15:47	magicarmz	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe konvergiert? Hi, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Ich soll untersuchen ob folgende Reihe konvergiert und soll dabei die Taylorentwicklung verwenden. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (e-(1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray}$ Taylor: hier habe ich schon das problem weil die taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ wäre ja: $\begin{eqnarray} 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{5}) \end{eqnarray}$ und wenn ich sie nur von $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ haben will muss ich ja ableiten und dann wäre ja das schon null.. Nun meine frage, wie ist das mit der Taylorentwiklung gemeint? mfg
15.03.2011, 17:40	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst da nix ableiten sondern für x einfach 1 einsetzen in der taylerentwicklung (wie dich das dann weiterbringt hab ich mir jetzt noch nicht angesehen) edit: außerdem hast du in deiner reihe irgendwie garkein k, da muss irgendwas mit den indizes falsch sein
15.03.2011, 17:49	magicarmz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert? achso, danke für die schnelle antwort.. ok dann habe ich das: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+O(x^{5})-(1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray}$ hab jetzt auch probiert das $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray}$ als taylorentwicklung anzuschreiben.. komme da nicht weit, da die ableitung schon sehr kompliziert ist.. aber vielleicht muss ich die taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ garnicht so weit machen?! $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (1+O(x)-(1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray}$ aber bringt das was bzw. wie soll ich das lösen?? mfg
15.03.2011, 21:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es um e geht, kannst du doch nicht einfach die Reihendarstellung nach wenigen Gliedern abbrechen. Dann kriegst du ja eine ganze andere Zahl und dann würden die Reihenglieder ja noch nicht mal eine Nullfolge bilden. Du könntest so vorgehen: $\begin{eqnarray} e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \geq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ Und dann halt weiter rechnen und abschätzen. Im Verlauf deiner Rechnung wirst du vermutlich irgendwann auf den Term $\begin{eqnarray} n^k-n(n-1)\dotsb (n-k+1) \end{eqnarray}$ treffen, den du dann folgendermaßen abschätzen könntest: $\begin{eqnarray} n^k-n(n-1)\dotsb (n-k+1) = n(n^{k-1}-(n-1)\dotsb (n-k+1)) \geq n(n^{k-1}-(n-1)^{k-1}) \geq n(n-1)^{k-2} \end{eqnarray}$ Das müsste dann so durchgehen. Übrigens: Ich hatte mir zunächst folgenden Ansatz überlegt: Offensichtlich divergiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right) \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass nicht $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \left( e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-e\right) \end{eqnarray}$ konvergieren können. Allerdings fehlt mir noch ein leichtes Argument, dass die obigen Reihen bzgl. Konvergenz äquivalent sind, d.h. dass die eine Folge genauso schnell von unten gegen e konvergiert, wie die andere von oben. Das würde die Aussage nämlich relativ ellegant erschlagen. Hat jemand eine Idee diesen Ansatz zu Ende zu bringen?
16.03.2011, 00:05	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergiert? Meinst Du tatsächlich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \left(e-\left(1+\frac 1n\right)^n\right)=n\left(e-\left(1+\frac1n\right)^n\right)~? \end{eqnarray}$ Wenn ja, dann folgt die Konvergenz aus der leicht zu zeigenden Abschätzung $\begin{eqnarray} 0<e-\left(1+\frac 1n\right)^n<\frac en. \end{eqnarray}$

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