Bestimmen Sie die Bilder folgender Funktionen |
| 15.03.2011, 15:56 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Bestimmen Sie die Bilder folgender Funktionen Hallo, ich habe eine Aufgabe, die ich zwar vestehe, aber ich nicht weiss wie ich genau vorgehen muss. Die Aufgabe lautet wie folgt: Es sei f:[0,unendlich) --> |R mit f(x):=exp(-x) und g: (0,unendlich) --> |R mit g(x) := log2(x). 1: Bestimmen Sie die Bilder von f und g 2: Bestimmen sie f^-1 ((0,2]) und g^-1((2,8)). Meine Ideen: Also Teil 1 verstehe ich garnicht. Was ist mit Bild gemeint? Und was soll ich da machen? 2: g^-1: Das x von log2 welches 2 ergibt ist 4, den log2(4) = 2. Der wert für 8 ist 256. Deswegen: g^-1(2,8) = {2 und 8} exp(x) wird bei uns definiert als exp(x)= e^x Ich muss also eine e funktion finden die von 0 bis 2 geht. Bzw ich muss 2 zahlen finden deren negatives von 0 bis 2 geht. Da steh ich total auf dem Schlauch. Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke für das lesen und ggf. für die Hilfe |
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| 15.03.2011, 17:16 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmen Sie die Bilder folgender Funktionen Hallo, Zunächst einmal für das Bild einer Funktionn: hier Für das Urbild einer Funktion schau dir mal das an: hier Sind die beiden Begriffe klar? Dann schreibe am besten mal die Definition des Bildes bzw. Urbildes hin und setze die entsprechenden Funktionen ein. Schöne Grüße P.S: Mal so aus Interesse:
Ist das nicht genau andersrum, also das man definiert e^x:= exp(x)? |
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| 15.03.2011, 18:11 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, danke. Ja du hast recht. Ich hab die Teile vertauscht. e^x := exp(x) Das Bild ist die tatsächliche Menge von Werten die die Funktion tatsächlich annimmt. Die funktion exp(-x) mit f:[0,unendlich) nimmt ja für x alle Werte an von 0 bis unendlich. exp(0) ist ja bekanntlich 1. Jetzt können alle Werte in |R genommen werden, welche positiv sind. Da die funktion exp(-x) ist, also der Wert also negiert wird ( nennt man das negiert?) wird bei steigendem Wert, das Ergebnis immer kleiner. Die Bildmenge ist also [1,-unendlich). Bei log2(x) Zuersteinmal log2(0) gibt es nicht, oder liege ich da falsch? Je größer die Zahl wird, desto größer wird das Ergebnis log(x) < log(x+1) Für Werte von 0 bis 1 werden die Werte negativ, für Werte größer 1 wird der logarithmus größer. Also ist das bild von -unendlich bis +unendlich jedoch ohne 0. Das urbild von log2(x) g^-1(2,8) ist {8 und 256} und das von exp(-x) bekomme ich nicht ganz hin. Für welchen Wert wird exp(-x) = 2? |
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| 15.03.2011, 20:37 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, aber ich konnte diesem Satz bzw. deinen Gedankengängen nicht folgen. Die Bildmenge ist leider auch nicht richtig (zumal der größere Wert normalerweise rechts steht...).
Warum nicht die 0? In welcher Menge liegt denn das Bild einer Funktion? Also, so wie ich es mir gedacht hatte: Schreibe erstmal ganz stur die definition des Bildes hin: zu 1) So was ist nun e^0 und was kannst du über das Monotonieverhalten von f(x) = exp(-x) aussagen (also fallend oder steigend usw.)? Hilft dir das weiter? zu 2) Wenn du verstanden hast wie das "Bild" bei der 1) funktioniert, müsste das gehen. Falls nicht, dann schreib wieder ganz stur die Definition hin und schau welche Werte dann der log2 auf (0,unendlich) annehmen kann. Falls das keine Früchte trägt, dann sag nochmal bescheid 
Schöne Grüße P.S. ich würde erstmal das machen und dann übers Urbild reden, damit man nicht durcheinander kommt |
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| 15.03.2011, 21:45 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, danke erstmal für die Antwort. Ja ich hab da totalen Mist gebaut. Ich habe mich irgendwie selbst verwirrt 
Also dann ersteinmal zum Bild. exp(0) = 1 exp(-1) = 0,36..... exp(-2)= 0,13...... Bei steigendem x wird das Ergebnis kleiner. Die Funktion ist also monoton fallend und konvergiert (?) gegen 0. Das bild ist also (0,1] So dann zu log2. Log2(1) = 0 Für (0,1] wird log2(x) negativ und nimmt alle beliebigen Werte bis -unendlich an Für [2,unendlich] wird log2(x) postitiv monoton steigend. Sehr langsam zwar, aber trotzdem Monoton steigend. Also geht die Bildmenge von (-unendlich,+unendlich) Simmt das jetzt oder hab ich wieder Mist gebaut? ^.^ |
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| 15.03.2011, 22:06 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehr gut
(Obwohl du etwas auf die Intervallgrenzen usw. achten musst. Und ich würde falls du da was abgenben musst nicht aus drei Werten die monotonie schließen. Aber so ist supi
)So also zum Urbild. Schreibe nochmal genauso wie beim Bild erstmal die Definition auf. Dann schauen wir weiter
(P.S. Für die Definition hab ich oben glaub ich schon nen Link reingestellt) Schöne Grüße |
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| 15.03.2011, 22:23 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So jetzt wirds spannend
Hab ich mich wieder verwirrt oder bekomm ich es hin 
So zuerst zu der exp Funktion. Das Urbild ist die Menge von Werten welche die Ergebnisse (0,2] ergeben. Die Funktion lautet ja exp(-x) exp(-unendlich) ~ 0, das habe ich ja vorhin schon erwähnt aber exp(x)= 2? Durch ausprobieren habe ich ungefähr 0,666666 raus, gibt es da eine elegantere möglichkeit? Dann zu log2 log2(8) = 2 log2(256) = 8 Daher ist das Ergebnis (8,256) |
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| 15.03.2011, 22:32 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
log2 passt. Für das andere schreibe nochmal genau auf (so wie ich es beim Bild gemacht habe) wie das Urbild definiert ist. Also aus welcher Menge nimmst du x etc. vgl dazu nochmal den Link. (Im übrigen e^x = k <=> x = ln k - Aber das brauchst du hier auch nicht unbedingt) |
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| 15.03.2011, 22:40 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du: f^-1((0,2]) := { x element von [0,unendlich[: f(x) element von ((0,2]) } Da x nur Werte von 0 bis unendlich sein kann, ist es maximal 1 und konvergiert ja wie gesagt gegen 0. Das Urbild ist also (0,unendlich] Alle Werte passen in die oben genannte Bedingung. Also muss ich garkeine Werte mit 1,5 oder ähnlichem haben? Es reicht wenn alle Werte kleiner 2 sind? |
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| 15.03.2011, 22:43 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ... korrekt. Man hätte das auch gleich sehen können, denn das Bild ist ja ]0,1], da dies Teilmenge von ]0,2] ist müssen alle Punkte aus der abzubildenden Menge im Urbild liegen. Aber cool dann hast dus
Tschüssi |
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| 15.03.2011, 22:48 | spitzname123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah super
Vielen Vielen Vielen DANK
Langsam hab ich es doch verstanden. Keine Ahnung warum ich heute so schwer von begriff bin
Dankeschön! |
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| 15.03.2011, 22:56 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh sorry mir fällt grad auf wegen log2 (8) = 3, dass das doch nicht passt (log2 (4) = 2). Also passe da das Intervall noch an. Dann passt des aber. Bis denne Zündholz P.S. Zu viel des dankes macht mich verlegen
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