Wurzel(p) nicht in Q(Wurzel(p1),..,Wurzel(pn)) enthalten

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juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel(p) nicht in Q(Wurzel(p1),..,Wurzel(pn)) enthalten
Wie beweise ich, dass für paarweise verschiedene Primzahlen gilt:
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel(p) nicht in Q(Wurzel(p1),..,Wurzel(pn)) enthalten
Wo sind Deine Ansätze und Ideen?
Prinzip "Mathe online verstehen!"

Gruß,
Reksilat.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass gleich der Menge der Polynome über in den ist. Dies kann man auch vereinfachen zu: Die Menge aller Summen der Form , wobei und die möglichen Produkte aus den () durchläuft, bei denen jedes höchstens einmal vorkommt.

Dies soll für keine Wahl der gleich sein können. Nun bräuchte ich irgendeine Aussage der Art "Wenn eine rationale Kombination aus Wurzeln gewisser natürlicher Zahlen rational ist, dann gilt für diese natürlichen Zahlen bereits .." Was ich kenne und damit zu tun haben könnte ist: Jede rationale Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ganzzahlig.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest annehmen, dass ist das dann quadrieren.
Einen schönen direkten Widerspruch sehe ich da im Moment aber auch nicht.

Andere Idee: Induktion.
Nimm an, dass für ein gewisses n immer die Behauptung gilt.
Und nun sei .

Dann gibt es eine Darstellung , mit .

Das kann man mal quadrieren. Und beachte, dass die Induktionsannahme gar nicht auf das festgelegt ist, sondern dass man überall in die Behauptung beliebige (paarweise verschiedene) Primzahlen einsetzen kann.

Gruß,
Reksilat.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe, danke. .. Ich schreibe mal den Beweis auf, so weit wie ich jetzt bin.

Behauptung : Für alle : Für alle paarweise verschiedenen Primzahlen gilt
Induktionsanfang (n=0) ist klar.
Induktionsschritt n->n+1 : Angenommen , dann mit . Falls , dann folgt mit Quadrieren und Umstellen der Gleichung , Widerspruch zur Induktionsannahme. Falls , dann , genauso ein Widerspruch. Also .

.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wenn man den Ansatz macht, für p eine beliebige positive rationale Zahl zuzulassen, bei der, wenn man sie als gekürzten Bruch schreibt, keine der Primzahlen p1,..,pn in der Primfaktorzerlegung des Zählers oder Nenners vorkommt, dann sollte der Beweis bis zu dem Punkt genauso funktionieren und der Fall führt dann mit zu einem Widerspruch.

Funktioniert das?
 
 
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, und um den Beweis abzuschließen, müsste man dann noch feststellen, dass ein Zwischenkörper von ist, also, da , entweder gleich oder gleich ist (Gradsatz) und das zweite wurde widerlegt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, so sieht der Beweis gut aus.Freude

Gruß,
Reksilat.
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