Extremstellen ganzrationaler Funktionen mit Vorzeichenwechsel |
| 15.03.2011, 17:29 | Marcelllo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremstellen ganzrationaler Funktionen mit Vorzeichenwechsel Hallo, es geht darum, wie man Extremstellen Ganzrationaler Funktionen mit Hilfe des Vorzeichenwechsels bestimmt. Den Weg über die 2te Ableitung finde ich persönlich leichter, es soll aber nunmal so sein. Ich habe hier eine Beispielaufgabe, die ich nicht ganz nachvollziehen kann: Meine Ideen: f(x)= x + f`(x)= 1- f`(x) = 0 0= 1- x1= 1 v x2= -1 soweit kann ich es nachvollziehen. Dann steht im Buch: f`(x)= Ich verstehe den ersten Umformungsschritt nicht. Wie komme ich darauf die -1 mit einzubeziehen, dass ich einen Bruch habe? |
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| 15.03.2011, 17:35 | Marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hebe ich mich auch noch bei dem Schritt vertippt: so sollte der 2te Schritt natürlich heißen. |
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| 15.03.2011, 18:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ganz einfache Bruchrechnung, nämlich Addition durch Erweiterung mit Hauptnenner. |
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| 15.03.2011, 21:32 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. Diese Aufgabe konnte ich jetzt lösen. Aber allgemein bin ich mir noch sehr unsicher. Z.B f(x)= f`(x)= x1= 0 v x2= 2 f`(x)= (x+0)(x+2) x1=0: (x+0)(x+2) >O für x>0 (x+0)(x+2) müsste denn jetzt ja entweder < oder > als 0 sein für x<O aber je nach dem ob ich z.B. -1 oder -4 einsetze komme ich auf unterschiedliche Änderungen. Woher kann ich da wissen, das P(0/1) ein Maximum ist ???? |
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| 16.03.2011, 07:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist aber nicht dasselbe wie 3x² - 6x . 
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| 16.03.2011, 13:07 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f`(x)= 3(x-0)(x-2) bzw. f`(x)= 3x(x-2) |
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| 16.03.2011, 13:14 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber mein Problem mit null bleibt. Wenn eine Nullstelle 0 ist, kommt wenn ich >0 einsetze was völlig anderes raus 3(1-0)(1-2) <0 für x>0 3(3-0)(3-2) >0 für x>0 |
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| 16.03.2011, 13:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht doch nur um das Vorzeichen von 3x(x-2) in der unmittelbaren Umgebung von 0. Dazu sucht man ein epsilon > 0, so daß gilt: Das Vorzeichen von f'(x) für x_0 < x < x_0 + epsilon ist anders als das Vorzeichen von f'(x) für x_0 - epsilon < x < x_0 . In deinem konkreten Fall hast du das epsilon etwas zu groß gewählt. |
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| 16.03.2011, 13:27 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum muss man es eigentlich in linearfaktoren zerlegen? Wenn ich eine zunehmende Zahl zu x0 und eine abnehmende direkt in die erste Ableitung einsetze komme ich schneller zum Ergebnis? |
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| 16.03.2011, 13:29 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber danke schonmal, dass es nah an 0 sein muss war mir nicht klar. Ich dachte > als 0 ist halt >0 egal wie viel größer |
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| 16.03.2011, 13:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann zu Fehlinterpretationen führen, wie du auch an deinem Beispiel siehst. Sehen wir uns mal den Graph von f'(x) = 3x² - 6x an: Man sieht, daß die Funktion in einer Umgebung von x_0=0 einen Vorzeichenwechsel hat. Geht man aber von x_0=0 weiter nach rechts über x=2 hinaus, so dreht die Funktion wieder das Vorzeichen. Man muß also eine genügend kleine Umgebung um x_0 nehmen und diese betrachten. |
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| 16.03.2011, 14:15 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die sehr anschauliche Erklärung. das die Zahl nahe an der ausgerechneten Nullstelle sein muss ist mir jetzt klar. Aber wenn ich die Nullstellen vorher ausrechne, dann weiß ich ja die Werte und kann eine Zahl die nahe an dem jeweiligen Wert liegt in die 1te Ableitung einsetzen. Auch ohne Linearfaktorzerlegung !??? |
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| 16.03.2011, 14:19 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, bin im Moment echt etwas verwirrt. Nutze ich die Linearfaktorzerlegung hier nur, um die Nullstellen überhaupr errechnen zu können? Angenommen die Funktion wäre z.B über die pq Formel zu lösen, dann kann ich es direkt so lösen und brauche diie Funktion nicht in Linearfaktoren zerlegen? |
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| 16.03.2011, 14:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du nutzt die Linearfaktorzerlegung, a) um die Nullstellen zu bestimmen b) um die Analyse auf Vorzeichenwechsel durchzuführen. Es ist bei der Analyse auf Vorzeichenwechsel nicht damit getan, einfach mal ein paar Stellen in der Nähe der Nullstelle einzusetzen, um dann zu sagen, da ist ein Vorzeichenwechsel oder nicht. |
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| 16.03.2011, 15:02 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f`(x)= hier kann z.B. ich doch garnicht ausklammern. |
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| 17.03.2011, 07:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch. Erstmal eine 4. Und dann hat 4(x³ + 1) eine Nullstelle, so daß du den Faktor (x - Nullstelle) mittels Polynomdivision abspalten kannst. Merke: ein Polynom 3. Grades hat immer eine reelle Nullstelle.
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| 19.03.2011, 16:23 | marcello | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, Polynonmdivision nehmen wir nicht durch, weil es fürs Zentralabi nicht mehr verpflichtend ist. Ich kann aber einfach nicht verstehen, warum die Funktion noch in Linearfaktoren zerlegt werden muss, wenn ich die Nullstellen voher eh erstmal mit z.B. pq-Formel ausrechne. Es ändert doch nichts, ob ich den Vorzeichenwechsel anhand der Normalform der 1ten Ableitung erkenne oder ob ich die dazugehörigen Werte in die linare Zerlegung einsetze. |
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