Skizzieren der Menge einer Matrixnorm

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15.03.2011, 22:15	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, da ich sowas noch nie gemacht habe und nichts dazu gefunden habe. Skizzieren sie folgende Mengen: $\begin{eqnarray} M_{1}=\left\{ x\in \mathbb R ^{2}:\|\|x\|\|_{1}=1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{2}=\left\{ x\in \mathbb R ^{2}:\|\|x\|\|_{2}<1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{3}=\left\{ x\in \mathbb R ^{2}:\|\|x\|\|_{\infty}>1 \right\} \end{eqnarray}$ Wie skizziert man die Menge einer Vektornorm? Ich weis nicht mal was ich da machen muss. Kann mir jemand bitte Tipps geben wie man hier vorgeht und wie man das Ergebnis deutet? Das wäre echt nett!
15.03.2011, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Es ist hier eine Vektornorm und soll die verschiedenen Gestalten eines Einheitskreises zeigen. Daher auch nur Dim2. Wie sieht in allen drei Fällen denn die Kreislinie aus. Nicht googlen, selbst versuchen!
15.03.2011, 22:34	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Ah stimmt eine Vektornorm, ist ja nur 2 dimensional. Ne ich will das selber versuchen, da ich es ja auch verstehen will. Aber ich weis nicht was ich mir unter einer Vektornorm grafisch vorstellen soll, bzw. wie ich auf die Grafik schließen kann. Wäre es eine Funktion würde ich Werte einsetzen und das ganze zeichnen.
15.03.2011, 22:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Schreib mir mal die euklidische Norm aus.
15.03.2011, 22:45	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm die euklidische Norm oder auch 2-Vektornorm: $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{2}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n \|v_{i}\|^{2}} \end{eqnarray}$ Sie stimmt ja prinzipiell geometrisch betrachtet mit der Länge des Vektors v überein.
15.03.2011, 22:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Nun ist n hier ja nur 2 und wir sind im Reellen. Vereinfache die Darstellung also.
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15.03.2011, 23:04	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm $\begin{eqnarray} \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}^{2}+v_{2}^{2}<1 \end{eqnarray}$ <--- <-- Das sieht nach Mittelpunktsgleichung eines Kreises aus. Dann müsste die Menge innerhalb des Kreises mit einem Radius von 1 liegen.
15.03.2011, 23:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm
16.03.2011, 00:57	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Vielen Dank soweit mal für die Hilfestellung! Die 1-Vektornorm müsste dann ausgeschrieben: $\begin{eqnarray} \|\|v_{1}\|\|=\sum\limits_{i=1}^n\|v_{i}\|=\|v_{1}\|+\|v_{2}\|=1 \Rightarrow v_{1}=1-\|v_{2}\| \end{eqnarray}$ Das ist doch prinzipiell eine schräge Geradengleichung. Aber wie sieht die Menge dann aus? Sie müsste ja dann eigentlich nur auf der Geraden liegen. Die $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ - Vektornorm $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\infty}=\max_{i} \|v_{i}\|=\|v_{1}\|>1 \end{eqnarray}$ Das ist eine horizontale Gerade und die Menge liegt eben nur darüber, also alles größer 1. Habe ich das so richtig interpretiert?
16.03.2011, 01:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Geraden sind ein guter Ansatz. Aber da muss noch mehr Fallunterscheidung rein.
16.03.2011, 01:34	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm $\begin{eqnarray} \|\|v_{1}\|\|=\sum\limits_{i=1}^n\|v_{i}\|=\|v_{1}\|+\|v_{2}\|=1 \Rightarrow v_{1}=1-\|v_{2}\| \end{eqnarray}$ Also gut entweder $\begin{eqnarray} v_{1}>0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v_{1}<0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v_{1}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}=1-v_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}=1+v_{2} \end{eqnarray}$ Weiterhin: $\begin{eqnarray} v_{1}=-(1-\|v_{2}\|) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} v_{1}=-1+v_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}=-1-v_{2} \end{eqnarray}$ Das führt dann zu 4 Geraden die zusammen eines auf einer Ecke stehenden Quadrats ergeben. Die Menge liegt auf den Kanten dieses Quadrats. Die $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ - Vektornorm $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\infty}=\max_{i} \|v_{i}\|=\|v_{1}\|>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1}>0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v_{1}<0 \end{eqnarray}$ Es könnte aber auch sein, dass $\begin{eqnarray} v_{2} \end{eqnarray}$ maximal ist dann gilt: $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_{\infty}=\max_{i} \|v_{i}\|=\|v_{2}\|>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{2}>0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v_{2}<0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} v_{2}=0 \end{eqnarray}$ Das ergibt dann wohl ein Quadrat mit der Kantenlänge 1 das auf einer Kante steht. Die Menge ist dann alles außerhalb des Quadrats.
16.03.2011, 01:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_...lidischen_Ebene
16.03.2011, 01:56	Mads85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Dankeschön, habs editiert oben und sogar noch ohne Wikipedia hinbekommen Das war eine schwere Geburt aber wenigstens hab ichs verstanden jetzt. Die Maschinenbau Master Mathe-Numerik Vorlesung habe ich ja erst noch. Bisher hatte ich noch keine Numerik Vorlesung im Master. Aber dadurch, dass ich mir die Übungsblätter schon runtergeladen habe und schon einige Tage am üben bin habe ich bald schon über die Hälfte des Prüfungsstoffs durch. Sehr gut dann hab ich während des Semesters in Mathe Luft. Vielen Dank für deine Zeit.
16.03.2011, 02:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe: Skizzieren der Menge einer Matrixnorm Bitte, die Bilder waren ja nur als "optische" Auflösung gedacht mit minimalen Schreibaufwand für mich.

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