Offene Mengen

16.03.2011, 00:36

Nadia..

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Offene Mengen

Meine Frage:
Wir betrachten den Vektorraum $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ zusammen mit der euklidischen Metrik.
(a) Zeigen Sie, dass jede oene Menge $\begin{eqnarray*} U \subset R^n \end{eqnarray*}$ als eine Vereinigung von offenen Kugeln
$\begin{eqnarray*} U = \bigcup_{i\in I } U_{ri}(ai) \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann.

(b) Zeigen Sie, dass eine abzählbare Vereinigung dafür ausreicht.

Meine Ideen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " Sei $\begin{eqnarray*} a_o\in U \end{eqnarray*}$ da U offen ist existiere eine Umgebung mit $\begin{eqnarray*} 0<ro \in I, U_{ro}(a_o) \subset U \Rightarrow a_o\in U_{ro}(a_o)\subset \bigcup_{i\in I } U_{ri}(ai) \end{eqnarray*}$
" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " Sei $\begin{eqnarray*} a_o\in \bigcup_{i\in I } U_{ri}(ai) \Rightarrow a_o\in U_{ro},ro \in I,^{wegen} U_{ro}(a_o) \subset U \rightarrow a_o\in U \end{eqnarray*}$

Bevor ich mit der B anfange würde ich gerne wissen, ob ich die a richtig habe.

16.03.2011, 01:55

zweiundvierzig

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Hallo Nadia,

bei der (a) bist Du im wesentlichen richtig vorgegangen. Allerdings musst Du konkret sagen, woher die $\begin{eqnarray*} r_i, a_i, i \in I \end{eqnarray*}$ , stammen. Dazu kannst Du für jedes $\begin{eqnarray*} a_i \in U \end{eqnarray*}$ wie von Dir beschrieben ein $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_{r_i}(a_i) \subset U \end{eqnarray*}$ wählen. Damit gilt insgesamt $\begin{eqnarray*} U \subset \bigcup_{a_i \in U} U_{r_i}(a_i) \end{eqnarray*}$ .

Für die Umkehrung genügt es, sich zu überlegen, dass jede Kugel $\begin{eqnarray*} U_{r_i}(a_i) \end{eqnarray*}$ mit so kleinem Radius gewählt war, dass sie noch in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt, d.h. auch für die Vereinigung gilt $\begin{eqnarray*} \bigcup_{a_i \in U} U_{r_i}(a_i) \subset U \end{eqnarray*}$ .

Bei (b) hilft Dir ein Zauberwort, das mit "D" anfängt. smile

smile

Viele Grüße,
zweiundvierzig

16.03.2011, 02:05

Nadia..

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Hat dieses D noch ein Folgenglied? smile

smile

16.03.2011, 02:18

zweiundvierzig

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Ja. Explizit: Prost

Prost

A.k.a. die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2011, 02:28

Nadia..

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Dicht ?

16.03.2011, 02:30

zweiundvierzig

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Jede Umgebung aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ enthält einen Punkt aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ (siehe dichte Teilmenge).

Wie könntest Du das denn hier verwenden?

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16.03.2011, 02:35

Nadia..

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Was sagt dass aus?
Wenn sie dicht in der reellen Zahlen liegen, dann muss wohl die Vereinigung der offenen mengen von U der reellen Zahlen in U der rationalen Zahlen liegen.

Bin ich auf der richtigen Spur?

16.03.2011, 02:49

Nadia..

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Jede Umgebung aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ enthält einen Punkt aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ (siehe dichte Teilmenge).

Wie könntest Du das denn hier verwenden?

llgemeiner sagt man von einer Teilmenge A, sie liege dicht in einem topologischen Raum X, wenn jede Umgebung eines beliebigen Punktes x aus X immer auch ein Element aus A enthält.

Die rationale Zahlen liegen dich in der reellen zahlen d.h für jede Umgebungen $\begin{eqnarray*} u_{ri}(ai) \subset R^n \end{eqnarray*}$ ,wobei $\begin{eqnarray*} ri \in R \end{eqnarray*}$ mindestens ein $\begin{eqnarray*} x \in u_{ri}(ai)| x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg?

16.03.2011, 02:58

zweiundvierzig

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Genau. Angenommen, wir haben jetzt für $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ein solches rationales $\begin{eqnarray*} x_i \in U_{r_i}(a_i) \end{eqnarray*}$ gewählt. Was können wir folgern?

16.03.2011, 03:12

Nadia..

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Genau. Angenommen, wir haben jetzt für $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ein solches rationales $\begin{eqnarray*} x_i \in U_{r_i}(a_i) \end{eqnarray*}$ gewählt. Was können wir folgern?

für so ein
$\begin{eqnarray*} x_j \in U_{r_i}(a_i) \end{eqnarray*}$ gibt es ein Index $\begin{eqnarray*} I \subset J \subset \mathbb{Q},r_j \in J, U_{r_j}(x_j)\subset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ wegen Q offen
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U \subset \bigcup_{r_i }U_{r_i}(a_i) \subset \mathbb{Q} \subset \bigcup_{r_j\in J}U_{r_j}(x_j) \end{eqnarray*}$

16.03.2011, 03:20

zweiundvierzig

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Das verstehe ich jetzt nicht. Also $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbst ist bestimmt nicht Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ und letzteres ist auch nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Nochmal etwas übersichtlicher mit weniger Indizes: wir können zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{r_a}(x_a) \subset U \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x_a \in \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ wählen. Wie lässt sich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nun schreiben?

16.03.2011, 03:26

Nadia..

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[quote]Original von zweiundvierzig
Das verstehe ich jetzt nicht. Also $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbst ist bestimmt nicht Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ und letzteres ist auch nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Laut Aufgabenstellung ist U offen, was heißt, U ist nicht Offen in R^n? komme bisschen durcheinenander unglücklich

unglücklich

.

Lg

16.03.2011, 03:27

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Nadia..
[...] wegen Q offen [...]

Darauf hatte ich mich bezogen.

Aber lass Dir am besten einfach nochmal meinen letzten Beitrag durch den Kopf gehen. smile

smile

16.03.2011, 03:32

Nadia..

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U lässt sich so schreiben .
$\begin{eqnarray*} U \subset \bigcup_{ra \in Q}U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$

16.03.2011, 03:41

zweiundvierzig

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Ich sehe gerade, dass ich oben vergessen hatte explizit zu erwähnen, dass die Elemente $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sinnigerweise in $\begin{eqnarray*} U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$ liegen sollen, aber dies zieht genau deine Folgerung nach sich.

Dein Ansatz ist an sich richtig. Ich wollte zwar auf einen leicht anderen hinaus, allerdings funktioniert Deiner auch. Du hast es jetzt so geschrieben, dass Du rationale Radien $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ wählst. Damit kommt man auch ans Ziel, aber ich meinte das erstmal so: $\begin{eqnarray*} U \subset \bigcup_{a \in U} U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} x_a \in \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ . Der Index auf der rechten Seite läuft zwar zunächst über alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ (also überabzählbar viele), aber insgesamt können wir nur abzählbar viele $\begin{eqnarray*} x_a \end{eqnarray*}$ wählen, d.h. hier steht eine abzählbare Vereinigung. Ähnlich funktioniert es, wenn man anstatt der Mittelpunkte $\begin{eqnarray*} x_a \in \mathbb Q^n \end{eqnarray*}$ die Radien $\begin{eqnarray*} r_a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wählen würde.

Jetzt kannst Du Dir noch überlegen, warum auch die Inklusion $\begin{eqnarray*} \bigcup_{a \in U} U_{r_a}(x_a) \subset U \end{eqnarray*}$ gilt.

16.03.2011, 03:49

Nadia..

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Danke für alles , ich bin etwas müde geworden smile

smile

Morgen mache ich mir weitere Gedanken.

Lg

16.03.2011, 10:54

Nadia..

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habe ne Gedanke , weiß aber nicht, ob sie richtig ist.

Weil die Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{a \in U} U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$ endlich ,
$\begin{eqnarray*} (x_a) \end{eqnarray*}$ abzählbar ist und wir $\begin{eqnarray*} x_a \end{eqnarray*}$ geeigent gewählt haben, lässt sich für jeden Punkt aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_{a \in U} U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$ eine Umgebung finden, die wieder in U ist.

Lg

16.03.2011, 13:44

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Nadia..
Weil die Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{a \in U} U_{r_a}(x_a) \end{eqnarray*}$ endlich [...]
Lg

Endlich ist die Vereinigung im allgemeinen nicht.

Dennoch ist Dein Gedanke richtig, man kann eben $\begin{eqnarray*} U_{r_a}(x_a) \subset U \end{eqnarray*}$ wählen für alle, dann ist auch die ganze Vereinigung in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

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