Problem beim Ausklammern

02.12.2006, 11:43

fussballgott

Problem beim Ausklammern

Hallo,

ich habe ein Problem bezgl. des Ausklammerns und stehe da irgendwie auf dem Schlauch:

Hier der Term:

$\begin{eqnarray*} x²+x-x²+x_0 \end{eqnarray*}$

am geschicktesten wäre es ja, wenn ich x ausklammere, mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} x * ( x + x + x_0 ) \end{eqnarray*}$

Das kann doch aber überhaupt nicht sein... verwirrt

02.12.2006, 11:45

mYthos

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... da kannst nix ausklammern.

Geht nur, wenn in ALLEN Summanden der gleiche Faktor drinsteckt!

mY+

02.12.2006, 11:46

ich bin smile

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Zitat:

Das kann doch aber überhaupt nicht sein...

Genau!!!

1. Es gibt verschiedene Vorzeichen.

2. Bei x_0 steht kein x.

3. x ist ungleich x*x, sondern x=1*x.

02.12.2006, 12:01

fussballgott

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Zum Verfolgen hier mal die gesamte ( Ableitungs)-rechnung :

$\begin{eqnarray*} f(x) = x² + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{x²+x-x²+x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 12:10

ich bin smile

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In der 3. Zeile muss das -x^2 eigentlich -(x_0)^2 heißen.

Zudem muss doch eigentlich x_0 gegen x laufen.

02.12.2006, 12:10

mYthos

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Der dritte Summand muss $\begin{eqnarray*} -x_0^2 \end{eqnarray*}$ lauten!
Den Rest hat mein Vorposter schon gesagt ...

mY+

02.12.2006, 12:24

fussballgott

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Richtig, wir haben ja auch x²+x.

Hier korrigiert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x² + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{x²+x-x_0^{2}+ x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 12:37

derkoch

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Zitat:

Original von fussballgott

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{x²+x-x_0^{2}+ x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

ordne nun die sachen anch der potenz (abfallender reihenefolge), also höchste potenz nach vorne!

dann wende auf diesen teil $\begin{eqnarray*} ( x^2-x_o^2)\quad \end{eqnarray*}$ die binomische formeln an! anschließend entsprechend ausklammern und kürzen!, danach $\begin{eqnarray*} x-->x_o\quad \end{eqnarray*}$ laufen lassen und zusammenfassen! dann bistdu fertig!

02.12.2006, 13:09

fussballgott

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ok, nachdem ich das gemacht habe, bleibt am ende übrig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = (x+x_0)+x+x_0 \end{eqnarray*}$

kann ich das jetzt einfach zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} 2x+2x_0 \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2006, 13:18

derkoch

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Zitat:

Original von fussballgott
ok, nachdem ich das gemacht habe, bleibt am ende übrig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = (x+x_0)+x+x_0 \end{eqnarray*}$

kann ich das jetzt einfach zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} 2x+2x_0 \end{eqnarray*}$ ?

nein falsch!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{x²+x-x_o^{2}- x_o}{x-x_o}= \lim_{x \to x_0} = \frac{x²-x_o^{2}+x-x_o}{x-x_o}= \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_o)\cdot (x+x_o)+(x-x_o}{x-x_o}= \end{eqnarray*}$

jetzt ausklammern und kürzen!

rest darfst du!

02.12.2006, 13:23

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

wie kommst du denn auf das $\begin{eqnarray*} x - x_0 \end{eqnarray*}$ im Zähler? das muss doch + sein.

02.12.2006, 14:29

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

gehe ich nach deiner rechnung, bleibt übrig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = (x-x_o) * ( x+x_0) \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 14:41

ich bin smile

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Bei derkoch ist alles richtig!

Klammer doch einfach im Zähler x-x_0 raus.

Dann geht das Kürzen leichter.

02.12.2006, 16:19

fussballgott

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Zitat:

Original von ich bin smile
Bei derkoch ist alles richtig!

Klammer doch einfach im Zähler x-x_0 raus.

Dann geht das Kürzen leichter.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*(x+x_0)+(x-x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{x^2-x_0^2+x-x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} = x^2-x_0^2 \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 16:34

derkoch

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mit dem ausklammern müssen wir aber noch fleißig üben gell!

$\begin{eqnarray*} ax+a= a(x+1) \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 16:38

fussballgott

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ich bin jetzt irgendwie ein bisschen ... verwirrt

wenn ich die form habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*(x+x_0)+(x-x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

kann ich doch direkt die bin. formel anwenden - so geschehen.

02.12.2006, 16:44

derkoch

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wenn du das nicht siehst, dann ersetze die ausdrücke
$\begin{eqnarray*} (x-x_o) = a \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 16:47

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch
wenn du das nicht siehst, dann ersetze die ausdrücke
$\begin{eqnarray*} (x-x_o) = a \end{eqnarray*}$

können wir das nicht verbalisieren?
ich muss den term (x-x_0^2) mit den beiden anderen multiplizieren?

02.12.2006, 16:55

derkoch

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Zitat:

Original von fussballgott

Zitat:

Original von derkoch
wenn du das nicht siehst, dann ersetze die ausdrücke
$\begin{eqnarray*} (x-x_o) = a \end{eqnarray*}$

können wir das nicht verbalisieren?
ich muss den term (x-x_0^2) mit den beiden anderen multiplizieren?

warum willst du das denn wieder multiplizieren!
wozu haben wir und denn die mühe gemacht das 3. binom anzuwenden, wenn du das jetzt wieder ausmultiplizieren willst!

du sollst den term $\begin{eqnarray*} (x-x_o) \quad \end{eqnarray*}$ aus dem ganzen ausdruck ausklammern, amit du kürzen kannst!

02.12.2006, 17:17

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von fussballgott

Zitat:

Original von derkoch
wenn du das nicht siehst, dann ersetze die ausdrücke
$\begin{eqnarray*} (x-x_o) = a \end{eqnarray*}$

können wir das nicht verbalisieren?
ich muss den term (x-x_0^2) mit den beiden anderen multiplizieren?

bitte,machs vor zum nachvollziehen und erlöse mich unglücklich

02.12.2006, 17:27

derkoch

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nein!
ich quäle gerne leute und heut e ist WE , da mache ic es besonders gerne! Big Laugh

ersetze alle ausdrücke $\begin{eqnarray*} (x-x_o) \end{eqnarray*}$ durch a! mach das mal!
ich mache mir schnell was zu futtern und schaue ab und zu mal vorbei!( mensch bin ich wieder gemein) Big Laugh

02.12.2006, 17:41

fussballgott

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ok
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(a)*(x+x_0)+(a)}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

AH!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*((x+x_0)-1))}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 17:57

derkoch

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Zitat:

Original von fussballgott
ok
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(a)*(x+x_0)+(a)}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

AH!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*((x+x_0)-1))}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

jup! bis auf den kleinen schönheitsfehler!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*((x+x_0)+1))}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

jetzt kürzen und du hast dein ergebnis!

02.12.2006, 18:15

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

jup! bis auf den kleinen schönheitsfehler!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} = \frac{(x-x_0)*((x+x_0)+1))}{x-x_o} \end{eqnarray*}$

jetzt kürzen und du hast dein ergebnis!

es bleibt über: $\begin{eqnarray*} (x+x_0)+1 \end{eqnarray*}$

also, ist die 1. ableitung von x²+x

f'= x+x_0 + 1??

02.12.2006, 18:21

derkoch

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Zitat:

Original von fussballgott

es bleibt über: $\begin{eqnarray*} (x+x_0)+1 \end{eqnarray*}$

also, ist die 1. ableitung von x²+x
f'= x+x_0 + 1??

locker bleiben! schön langsam! du kannst nicht einfach was weglassen! du sollst doch x gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ laufen lassen, also kannst du alles was x ist durch $\begin{eqnarray*} x_o \end{eqnarray*}$ ersetzen! dann zusammen fassen!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} (x+x_0)+1=??? \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 22:10

fussballgott

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von fussballgott

es bleibt über: $\begin{eqnarray*} (x+x_0)+1 \end{eqnarray*}$

also, ist die 1. ableitung von x²+x
f'= x+x_0 + 1??

demnach wäre es ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} = 2x_0 +1 \end{eqnarray*}$

02.12.2006, 23:02

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Wenn du hinter den limes noch die Funktion schreibst, dann ja. Das Ergebnis ist jedenfalls richtig.
So:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} (x+x_0)+1 = 2x_0+1 \end{eqnarray*}$

Und daraus kannst du dann schließen...

03.12.2006, 09:10

fussballgott

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Zitat:

Original von MI
Wenn du hinter den limes noch die Funktion schreibst, dann ja. Das Ergebnis ist jedenfalls richtig.
So:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} (x+x_0)+1 = 2x_0+1 \end{eqnarray*}$

Und daraus kannst du dann schließen...

Möchtest du jetzt eine Regel oder Anderes hören?

03.12.2006, 10:10

fussballgott

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ok, erstmal danke an alle!

aber, einen schritt kann ich nicht ganz nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x²+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= f(x)-(fx_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= x²+x-x_0^2+x_0 \end{eqnarray*}$

wie kommt dann "derkoch" irgendwann mal auf $\begin{eqnarray*} -x_0 \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2006, 11:04

cleverclogs

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Zitat:

Original von fussballgott
ok, erstmal danke an alle!

aber, einen schritt kann ich nicht ganz nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x²+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= f(x)-f(x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= x²+x-x_0^2+x_0 \end{eqnarray*}$

wie kommt dann "derkoch" irgendwann mal auf $\begin{eqnarray*} -x_0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} -f(x_0) = -x_0^2 - x_0 \end{eqnarray*}$

meinst Du das??

03.12.2006, 11:14

fussballgott

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Zitat:

Original von cleverclogs

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -f(x_0) = -x_0^2 - x_0 \end{eqnarray*}$

meinst Du das??

ja!

03.12.2006, 12:11

cleverclogs

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$\begin{eqnarray*} f(x)= x²+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= f(x)-f(x_0) \end{eqnarray*}$

Du hast $\begin{eqnarray*} f(x_0) = x_0^2 + x_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= x²+x-x_0^2+x_0 \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} -f(x_0) = -x_0^2 - x_0 \end{eqnarray*}$

Also... zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= f(x)-f(x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)= x²+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0) = x_0^2 + x_0 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}= x²+x-(x_0^2 + x_0) \end{eqnarray*}$

und basta, hast Du deine Lösung

dabei nicht vergessen, dass - mal + - ist

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