Quadriken: Geometrische Bedeutung

16.03.2011, 11:59	niko_graz	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken: Geometrische Bedeutung Meine Frage: Hallo, hier meine Frage: Gegeben ist eine Ellipse: 5x^2+5y^2-4xy-2x-10y=11 Gesucht ist die Länge der Halbachsen sowieso der Mittelpunkt. Schreiben sie dazu die Matrix in Matrixschreibweise: x^tQx+b^tx=11 Berechnen sie eine orthogonale Matrix T, sodass T^-1QT eine Diagonalmatrix ist. Substituieren Sie in der obigen Gleichung x=T $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . WAS BEDEUTET DAS GEOMETRISCH??? Meine Ideen: Alles bis auf die letzte Frage kein Problem, ich rechne die Eigenwerte, Eigenvektoren aus, berechne die Transformationsmatrix T= 1/ $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bringe es auf normalform rechne die Längen und M aus. Nur was bedeutet das geometrisch?? Ist damit gemeint, wie die ellipse nach multiplikation mit T gespiegelt/gedreht wurde?? Wenn ja, ich erkenne einfach nicht was dahinter steckt!! Danke schon mal!! Lg
16.03.2011, 19:53	dia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadriken: Geometrische Bedeutung Meist du was T bewirkt? Da würde ich mal die Vektoren anders anordnen. (Vorne steht doch 1/Wurzel2 oder?)
17.03.2011, 12:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ellipse bringt man in 2 Schritten auf Normalform: 1.Schritt: Man macht eine Verschiebung des Koordinatensystems $\begin{eqnarray} \vec x=\vec x'+\vec a \end{eqnarray}$ , wobei der "Verschiebevektor" $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch diese Transformation werden die lineare Summanden -2x-10y in der Ellipsengleichung beseitigt. 2.Schritt: Man macht eine Drehung des Koordinatensystems gemäß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei müssen die Zeilen der Drehmatrix die auf 1 normierten Eigenvektoren sein. Durch diese Drehung wird erreicht, dass in der Ellipsengleichung die Nichtdiagonalelemente verschwinden. Danach hat die Ellipsengleichung die Normalform $\begin{eqnarray} \vec x''A''\vec x''=C \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A'' \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist. Dafür kann man auch schreiben $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray}$ Dabei sind a, b die beiden Hauptachsen der Ellipse, die nun auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse liegen. Vorher waren sie "verdreht".

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