Cramersche Regel via Entwicklung nach der j-ten Spalte

16.03.2011, 14:05

watt weiss ich 89

Cramersche Regel via Entwicklung nach der j-ten Spalte

alpha bezeichnet das algebraische Komplement zu a
Die Erläuterung geht so heran, dass man jede Zeile des Gleichungssystems $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}*x_j = b_i \end{eqnarray*}$ mit dem algebraischen Komplement multipliziert und darüber summiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}*x_j = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k}*b_i \end{eqnarray*}$
Den ersten Faktor (Die Summe über alle alpha) in den zweiten Faktor (Die Summe über alle a) hineinziehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j}*x_j = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k}*b_i \end{eqnarray*}$
Auf der linken Seite kann man nun die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j} \end{eqnarray*}$ berechnen bevor die Summation über j ausgeführt wird. Der Wert ist aber von j abhängig und zwar in folgender Weise:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ für j=k.
soweit klar
Zitat: "Ist dagegen j ungleich k, so kann man diese Summe als Entwicklung einer Determinante mit zwei gleichen Spalten auffasssen, nämlich derjenigen Determinante, die man erhält, wenn man in det(A) die k-te Spalte gleich der j-ten Spalte setzt. Eine solche Determinante ist aber gleich Null, so dass gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j} = 0 \end{eqnarray*}$ für j != k
Da stehe ich auf dem Schlauch. Wieso kann man in det(A) die k-te Spalte gleich der j-ten Spalte setzen?

Also ich hab versucht mir das ganze anhand eines Beispiels einer Det. 3 ter Ordnung zu verdeutlichen und dabei k=1 gesetzt.
Beim ersten Durchlauf mit j=1 erhalte ich ganz normal die Entwicklung nach der ersten Spalte: $\begin{eqnarray*} \alpha_{1,1}*a_{1,1}+\alpha_{2,1}*a_{2,1}+\alpha_{3,1}*a_{3,1}=a_{1,1}*\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}-a_{2,1}*... \end{eqnarray*}$
Beim zweiten Durchlauf mit j=2 erhalte ich das:
$\begin{eqnarray*} \alpha_{1,1}*a_{1,2}+\alpha_{2,1}*a_{2,2}+\alpha_{3,1}*a_{3,2}=a_{1,2}*\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,2} \end{vmatrix}-a_{2,2}*... \end{eqnarray*}$
Nun macht dieser Ausdruck nich wirklich Sinn, da das Komplement eine Determinante mit Elementen der zweiten Spalte hervorbringt, aber diese Determinante eben mit einem Element der zweiten Spalte multipliziert wird... oder? Aber man kann ihn doch ausrechnen?
Ich steig grad nicht so durch, bitte um Hilfe

16.03.2011, 15:44

Reksilat

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RE: Cramersche Regel via Entwicklung nach der j-ten Spalte
Ich schreibe das für k=1 und j=2 noch mal voll aus:
$\begin{eqnarray*} \alpha_{1,1}*a_{1,2}+\alpha_{2,1}*a_{2,2}+\alpha_{3,1}*a_{3,2}=a_{1,2}*\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}-a_{2,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}+a_{3,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun entwickle mal die (singuläre!) Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{1,2}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,2}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nach der ersten Spalte. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

16.03.2011, 16:37

watt weiss ich 89

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Danke für die Antwort.
Was eine singuläre Matrix ist, weiß ich noch garnicht. (Bin auch kein Mathe/Physikstudent Augenzwinkern

)
Erstmal frage ich mich wie du auf die Matrix gekommen bist. Hast du praktisch die Determinante einfach "rückwärtsentwickelt"?
Ich sehe jetzt zumindest, dass ich zwei identische Spalten habe.

16.03.2011, 16:41

Reksilat

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Singulär heißt nicht invertierbar - bzw.: die Determinante ist 0.

Wie man auf diese Matrix kommt, sagt ja auch schon Dein Zitat von oben:

Zitat:

Zitat: "Ist dagegen j ungleich k, so kann man diese Summe als Entwicklung einer Determinante mit zwei gleichen Spalten auffasssen, nämlich derjenigen Determinante, die man erhält, wenn man in det(A) die k-te Spalte gleich der j-ten Spalte setzt.

Genau das habe ich gemacht und siehe: es entspricht genau Deinem $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j} \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 14:32

watt weiss ich 89

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Danke. Ok ich sehe ein, dass ich eine Determinante mit zwei identischen Spalten erhalte wenn j != k ist, wie der Text es beschreibt. Allerdings wird das für mich aus der Formel nicht ganz ersichtlich:
Wie genau komme ich von $\begin{eqnarray*} \alpha_{1,1}*a_{1,2}+\alpha_{2,1}*a_{2,2}+\alpha_{3,1}*a_{3,2}=a_{1,2}*\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}-a_{2,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}+a_{3,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
auf die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{1,2}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,2}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bzw allgemeiner von
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i,k} a_{i,j} = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}a_{1,1} & ... & a_{1,k=j} & ... & a_{1,j} & ... & a_{1,n}\\a_{2,1} & ... & a_{2,k=j} & ... & a_{2,j} & ... & 2_{1,n}\\... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\a_{m,1} & ... & a_{m,k=j} & ... & a_{m,j} & ... & a_{m,n}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \neq k \end{eqnarray*}$

viele Grüße

17.03.2011, 14:34

Reksilat

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Zitat:

Wie genau komme ich von $\begin{eqnarray*} \alpha_{1,1}*a_{1,2}+\alpha_{2,1}*a_{2,2}+\alpha_{3,1}*a_{3,2}=a_{1,2}*\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}-a_{2,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}+a_{3,2}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
auf die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{1,2}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,2}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der obige Ausdruck entspricht genau der Determinante der angegebenen Matrix.
Das sieht man, wenn man die Matrix nach der ersten Spalte entwickelt

17.03.2011, 16:45

watt weiss ich 89

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Ah, klar. Danke!

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