Vollständige Induktion harmonische Reihe

16.03.2011, 15:20

Feuerwehrfrau

Vollständige Induktion harmonische Reihe

Ich weiß nicht ob die vollständige Induktion, die ich gemacht habe richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 1/k = H_{n} \end{eqnarray*}$ für n>= 1

und

$\begin{eqnarray*} H_{2^n} >= 1+ n/2 \end{eqnarray*}$ für n>=0

jetzt hab ich gesagt, dass $\begin{eqnarray*} H_{2^n} = \sum\limits_{k=1}^x 1/k \end{eqnarray*}$ mit x=2^n

dann (y=2^(n+1))

$\begin{eqnarray*} H_{2^(n+1)} = \sum\limits_{k=1}^y 1/k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^x 1/k + \sum\limits_{k=1}^2 1/k \end{eqnarray*}$ und das ist ja offensichtlich größer gleich 1+ n/2+ 1/2.

Ist das richtig? Darf ich die Summe so auseinander ziehen?

Liebe grüße

16.03.2011, 15:36

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion harmonische Reihe

Zitat:

Original von Feuerwehrfrau
$\begin{eqnarray*} H_{2^(n+1)} = \sum\limits_{k=1}^y 1/k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^x 1/k + \sum\limits_{k=1}^2 1/k \end{eqnarray*}$ und das ist ja offensichtlich größer gleich 1+ n/2+ 1/2.

Ist das richtig?

Nein, das ist grottenfalsch. Du hast ja jetzt auf der rechten Seite beispielsweise den Summanden für k=1 doppelt drin.

So wäre es richtig:

$\begin{eqnarray*} H_{2^{n+1}} = \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac 1 k = \sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac 1 k + \sum\limits_{k={2^n + 1}}^{2^{n+1}} \frac 1 k \end{eqnarray*}$

16.03.2011, 15:43

Feuerwehrfrau

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RE: Vollständige Induktion harmonische Reihe
$\begin{eqnarray*} H_{2^{n+1}} = \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}} \frac 1 k = \sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac 1 k + \sum\limits_{k={2^n + 1}}^{2^{n+1}} \frac 1 k = \sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac 1 k + \frac 1 {2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

ok. soweit so gut.

wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 {2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ >= 1/2 ist. Das sollte es doch eig. nicht sein.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wink

Liebe Grüße

16.03.2011, 15:59

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion harmonische Reihe
Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k={2^n + 1}}^{2^{n+1}} \frac 1 k = \frac 1 {2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

16.03.2011, 16:01

Feuerwehrfrau

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achso... ich dachte das +1 gehört mit in die potenz...

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Vollständige Induktion harmonische Reihe

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