Betragsungleichung mit Kosinus

16.03.2011, 20:17	speLLchecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung mit Kosinus Meine Frage: Hallo zusammen, ich stehe gerade vor einem (angeblich ganz simplen) aber für mich momentan nicht lösbaren Problem. Gegeben ist: \| \cos(x) - \cos(y)\| \leq \| x - y \| für alle x,y \in \mathbb R Und nun soll gezeigt werden, dass das auch stimmt. Habe aber keine Idee, wie ich das anstellen soll... Freue mich über jeden Tipp, danke. Meine Ideen: wollte es mir grafisch veranschaulichen, stehe aber einfach an...
16.03.2011, 20:23	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left \| \frac{\cos(x) - \cos(y)}{x - y } \right \| \leq 1 \end{eqnarray}$ Erinnert dich das an was? Ibn Batuta
16.03.2011, 20:28	speLLchecker	Auf diesen Beitrag antworten »
...ist die logische Konsequenz aus meiner Angabe. Aber sagt bzw. beweist mir das was?
16.03.2011, 20:36	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
O.b.d.A. können wir annehmen, dass $\begin{eqnarray} x>y \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray} [x,y] \end{eqnarray}$ differenzierbar, also $\begin{eqnarray} \exists \xi\in(x,y) : \frac{\cos(x) - \cos(y)}{x - y } = \cos'(\xi) = -\sin(\xi) \end{eqnarray}$ . Was gilt nun für $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -\sin(x) \end{eqnarray}$ allgemein? Ibn Batuta
16.03.2011, 21:42	speLLchecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gilt für den Sinus... ungerade, stetige, diffbare Fkt. 2*PI periodisch Ich weiß nicht ganz worauf du hinaus willst und warum können wir annehmen, dass x > y gilt?
16.03.2011, 21:47	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dir verrate, daß der $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Fällt dann der Groschen? Zu deiner Frage. Wieso sollten wir das nicht annehmen können? Es gilt, daß $\begin{eqnarray} x\ne y \end{eqnarray}$ ist, also muss entweder $\begin{eqnarray} x>y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ sein. Falls nämlich $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ ist, gilt $\begin{eqnarray} \cos(x)-\cos(x)\le x-x \end{eqnarray}$ und das ist natürlich trivial. Ibn Batuta
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16.03.2011, 22:15	speLLcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du auf den Mittelwertsatz hinaus? f(x) ist stetig, diffbar in [a,b] dann existiert ein c in [a,b] sodass f'(c) = ( f(b) - f(a) ) / ( b - a ) in unserem Fall (mit den Betragsstrichen) der Sinus nimmt Werte zwischen -1 und 1 an, entspricht also immer <= 1 womit die geschickte Umformung aus deiner ersten Antwort meine Angabe bestätigen würde! Oder? :-)
16.03.2011, 22:24	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt. Nichts anderes steht oben in meinen Ausführungen. Ibn Batuta
16.03.2011, 22:27	speLLchecker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals

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