Erzeugendensystem

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16.03.2011, 23:12	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem Meine Frage: gegeben die zwei Funktionen: $\begin{eqnarray} f:=cos(x)^{2} ;<br /> g:=sin(x)^{2}; \end{eqnarray}$ außerdem $\begin{eqnarray} b:=3+x^{2}; \end{eqnarray}$ Frage: wird b von f und g erzeugt? Meine Ideen: Ich meine: ja, denn ich kann in der Linearkombination: $\begin{eqnarray} kcos(x)^{2}+lsin(x)^{2}= 3+x^{2} \end{eqnarray}$ für jedes x und damit jeden Wert, den die rechte Seite dieser Gleichung annimmt, immer ein passendes k oder l finden um die Gleichung zu erfüllen; Was denke ich falsch? Edit: LaTeX korrigiert. Vorschau verwenden! Gruß, Reksilat.
17.03.2011, 00:34	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem Hallo Steinbock, Du gehst das falsch herum an. Du musst zuerst $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ finden, mit denen dann Deine Gleichung für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Gruß, Reksilat.
17.03.2011, 00:35	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! In welchem Raum sind wir denn? Wenn es der Raum der Funktionen ist, dann musst du Konstanten finden, so dass $\begin{eqnarray} b=\alpha f+\beta g \end{eqnarray}$ eine Gleichheit von Funktionen ist. Das bedeutet, dass auf jedem beliebigen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert beide Seiten übereinstimmen müssen. Cordovan Edit: Oh, Reksilat hat schon geantwortet
19.03.2011, 09:20	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem Reicht es zu zeigen, dass für k=0 und l=0 ein Widerspruch entsteht? 0=x^2+3
19.03.2011, 19:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem Kurze Antwort: Nein. Nimm doch einfach an, dass es solche $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ gibt und führe das zum Widerspruch. Setze dafür zum Beispiel mal irgendwelche Werte für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein. Gruß, Reksilat.
19.03.2011, 21:26	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem also für x=0; x=PI; x=PI/2 bekomme ich feste Werte für entweder k oder l für PI/3 aber wird eine Variable frei ; dann wäre ich wieder bei meiner ursprünglichen Frage angelangt. was übersehe ich , müssen beide Skalare k u. l eindeutig bestimmt sein ?
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20.03.2011, 16:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem Schreib doch einfach mal hin, was Du raus hast. Wenn Du (durch Einsetzen eines x) einen Wert gefunden hast, den k annehmen muss, dann kann k keinen anderen Wert mehr annehmen. Dann hast Du Deinen Widerspruch.
20.03.2011, 21:03	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das mir in deiner ersten Antwort schon gesagt, aber ich habe das noch nicht verstanden: ist es so, das ich die rechte Seite der Gleichung als Ganzes , also als Funktion (und nicht so sehr den konkreten Wert bei speziellem x) auffassen muss : und entweder die linke Seite ,also die Linearkombination mit konkretem k und l, ein äquivalenter Term der rechten Seite und damit ein Erzeugendensystem darstellt , für alle x ,oder eben nicht. Ist dies der Widerspruch auf den du mich in deiner letzten Antwort hinweist: Ziehe ich daraus jetzt auch die richtigen Konsequenzen? Außer den Konstanten 0 und 1 kommen , wenn überhaupt, nur "trigonometrische Konstrukte" als rechte Seite der Gleichung in Frage.
21.03.2011, 09:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Cordovan oben schon schrieb, sind wir ja in einem Funktionenraum. Das heißt, dass zwei Funktionen (was hier unsere Vektoren sind) genau dann übereinstimmen, wenn sie auf allen Werten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ übereinstimmen. Insofern sind beide Seiten der Gleichung als Funktion aufzufassen. Das klingt hier erst mal komisch, da ja beide Seiten vollkommen unterschiedlich aussehen, aber bedenke, dass zum Beispiel $\begin{eqnarray} 1\cdot\sin(x)^2+1\cdot\cos(x)^2 \end{eqnarray}$ gerade der Funktion entspricht, die jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf 1 abbildet. So offensichtlich ist es also nicht, dass man die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=3+x^2 \end{eqnarray}$ nicht als Linearkombination der beiden quadratischen Winkelfunktionen darstellen kann. Ein Beispiel: Setze $\begin{eqnarray} k=10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l=19 \end{eqnarray}$ . Sind $\begin{eqnarray} 10\cdot \sin(x)^2+19\cdot \cos(x)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3+x^2 \end{eqnarray}$ die gleichen Funktionen? Nun offensichtlich nicht, denn man könnte ja $\begin{eqnarray} x=100 \end{eqnarray}$ einsetzen und dann die Winkelfunktionen mit 1 abschätzen, dann erhält man eine echte Ungleichung. Die Frage ist eben nun, ob man geeignete Werte für $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ finden kann. Dazu nimmt man eben an, dass man solche Werte hat und dass die Gleichung für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Dann führt man das durch geschicktes Einsetzen zum Widerspruch. Eine anderer Möglichkeit eröffnet sich hier übrigens durchs Differenzieren. Wenn die Funktionen auf beiden Seiten gleich sind, dann sind auch ihre Ableitungen gleich. Wenn man beide Seiten zwei oder drei mal differenziert, muss immer noch das gleiche rauskommen. - Das ist aber ein etwas aufwendigerer Weg. Gruß, Reksilat.
21.03.2011, 22:43	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Geduld und Mühe und Tipps, ich denke, ich habe dies Verstanden, Gruß Steinbock
21.03.2011, 23:57	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe doch noch eine Frage: beim trigonometrischen Pythagoras müssen k und l die 1 sein, dann gilt dies für alle x, soweit ist mir dies klar. aber was heißt, man nimmt an, es gäbe solche k`s und l`s und führt durch geschicktes Einsetzen den Widerspruch herbei: Ich kann doch nicht irgendwelche Werte einsetzen für k und l : muss ich also für ein konkretes x diese Skalare berechnen und dann zeigen, das dies nur für dieses x gilt, für andere aber nicht?
22.03.2011, 09:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist eben ein indirekter Beweis. Man nimmt das Gegenteil der zu beweisenden Aussage an und erzeugt daraus einen Widerspruch. Hier ist die eigentliche Behauptung: $\begin{eqnarray} 3+x^2 \end{eqnarray}$ kann nicht von $\begin{eqnarray} \sin(x)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos (x)^2 \end{eqnarray}$ erzeugt werden Angenommen, das ist falsch. Also müsste man $\begin{eqnarray} 3+x^2 \end{eqnarray}$ so erzeugen können und somit müssten Koeffizienten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ existieren, mit denen man diese Funktion erzeugen kann. Über diese Koeffizienten wissen wir dann nichts weiter, denn dafür kommen ja quasi alle rellen Werte in Frage. Wir wissen nur, dass es nach unserer Annahme solche ab jetzt festen Werte gibt. Aus unserer Annahme $\begin{eqnarray} kcos(x)^{2}+lsin(x)^{2}= 3+x^{2} \end{eqnarray}$ (mit festen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ gilt diese Aussage für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ) können wir nun aber etwas über diese festen Koeffizienten rausbekommen. Diese Koeffizienten sind für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gleich und es kann nicht sein, dass $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ für verschiedene $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verschiedene Werte annimmt. Gruß, Reksilat.
22.03.2011, 09:47	Steinbock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, ich habe es verstanden; Gruß Steinbock.

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