Lineare Unabhänigigkeit im K-Vektorraum V

02.12.2006, 14:15

ChristophEDFF

Lineare Unabhänigigkeit im K-Vektorraum V

Hallihallo,

ich hoffe, ihr könnt mir ein bisschen auf die Sprünge helfen Augenzwinkern

.

(a) Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v , v + \alpha w \end{eqnarray*}$ linear abhängig, für welche sind sie linear unabhängig?

Bei diesem Problem habe ich mir gedacht, dass die beiden Vektoren eigentlich nur linear abhängig sein können, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Gehe ich da richtig der Annahme oder muss ich da noch weitere Fälle beachten?

(b) Jetzt sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v + \alpha w , w \end{eqnarray*}$ orthogonal zueinander stehen.

Folgendes habe ich mir dabei gedacht:

Es muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(v_{k} + \alpha w_{k})w_{k} = 0 \end{eqnarray*}$ . Bis dahin sollte mein Gedankengang ja noch richtig sein, hoffe ich jedenfalls Augenzwinkern

.

Das führt ja dann auf: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(v_{n}w_{n} + \alpha w_{n}^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich jetzt keinen blassen Schimmer, wie mir das weiterhelfen soll, da die Vektoren ja prinzipiell unendlich groß sind, bzw. seien können.

02.12.2006, 14:17

20_Cent

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zu a: was ist denn v und was ist w?

wenn die gleich sind, dann ist alpha beliebig...

02.12.2006, 14:29

ChristophEDFF

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Ups, hab den Text drüber vergessen...

Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektoraumes V.

02.12.2006, 14:46

20_Cent

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dann dürfte dein ergebnis stimmen.

zu b: die indizes in der letzten gleichung sind falsch, allerdings weiß ich auch nicht, wie du dann weitermachen kannst.
mfG 20

02.12.2006, 14:57

ChristophEDFF

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Zitat:

Original von 20_Cent
dann dürfte dein ergebnis stimmen.

zu b: die indizes in der letzten gleichung sind falsch, allerdings weiß ich auch nicht, wie du dann weitermachen kannst.
mfG 20

In der Tat, richtig sollte es natürlich heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(v_{k}w_{k} + \alpha w_{k}^2) = 0 \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 18:09

ChristophEDFF

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Hat denn wirklich keiner eine Idee, bin noch nicht wirklich weiter...

03.12.2006, 19:00

Schmonk

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(v_{k}w_{k} + \alpha w_{k}^2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nv_{k}w_{k}+\alpha\sum_{k=1}^nw_{k}^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=-\frac{\sum\limits_{k=1}^nv_{k}w_{k}}{\sum\limits_{k=1}^nw_{k}^2} \end{eqnarray*}$

Ich würde mal vermuten, dass das Ganze auf ein Orthogonalisierungsverfahren hinaus läuft.

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