Lineare Abhängigkeit warum bei m>n

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watt weiss ich 89 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit warum bei m>n
m = Gleichungen, Zeilen; n=Unbekannte, Spalten

Bei einer m x n Matrix sind bei die Zeilen dann und nur dann linear abhängig wenn . Bei sind die Zeilen immer linear abhängig.

Der erste Satz wird mir durch folgende Erklärung deutlich: Wenn nämlich die Zeilen linear abhängig sind, kann man die m x n Matrix so umformen, dass in einer Zeile nur Nullen stehen. -> -> . Umgekehrt gilt bei die lineare Abhängigkeit der Zeilen.



Warum gilt auch die Umkehrung des Ganzen (der zweite Satz) die ja dazu führt, dass bei die Zeilen immer linear abhängig sind (eben weil da ja automatisch r<m ist). Das ist mir intuitiv nicht klar, weshalb beispielsweise 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten automatisch linear abhängig sind.

viele Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit warum bei m>n
Zitat:
weshalb beispielsweise 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten automatisch linear abhängig sind.


Drücke es mit linearer Algebra aus. Du hast 3 Vektoren eines 2D-Vektorraums. Wie sieht es da mit linear abhängig/unabhängig aus?
watt weiss ich 89 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Vektorräumen habe ich mich noch nicht beschäftigt. Dieses Themengebiet kommt erst später im Lehrbuch. Kann man das irgendwie anders erklären?
viele Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn r bei dir?
watt weiss ich 89 Auf diesen Beitrag antworten »

r ist der Rang der Koeffizientenmatrix.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du arbeitest mit Matrizen und linearer Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit und kennst keine Vektoren? verwirrt

Eigenartig....

Was ist denn der Zeilenrang einer Matrix, wie ist er definiert?
 
 
watt weiss ich 89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Vektoren sind ja einzeilige oder -spaltige Matrizen mit mehr als einem Element. Außerdem sind sie die gerichteten Größen in der Physik. Aber konkret Vektorräume habe ich noch nicht behandelt.
Der Rang r einer Matrix ist definiert als die Determinante r-ter Ordnung der Matrix die ungleich Null ist.
watt weiss ich 89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die edit-Funktion geht nach 15 min leider nicht mehr. Also in einem neuen Beitrag:

Mir ist schon klar, dass der Rang einer Matrix mit m>n auf jeden Fall <m sein muss (dass verstehe ich noch rein intuitiv) (Also formal: r(m*n) < m für alle m>n). Soweit klar. Bei einer Matrix mit linearer Zeilenabhängigkeit mit m=n also Matrix(n*n) verstehe ich auch den Satz, dass die Determinate deshalb 0 wird, weil man bei einer Umformung nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren mind eine Zeile, in der alle Elemente 0 sind hervorbringen kann (also r(n*n) < n für det(n*n)=0 ) . Auch das ist mir halbwegs intuitiv klar (ich muss halt nur ein bisschen drüber nachdenken)
Aber:
Das bei einer m*n Matrix mit m>n , die Zeilen AUTOMATISCH IMMER LINEAR ABHÄNGIG sind ist mir rein intutiv nicht klar. Die Det(m*n) kann man ja hier nicht direkt aus der m*n Matrix bilden also hat die det(m*n) für m>n überhaupt keinen Wert. Die Ordnung der det(m*n) ist daher auf jeden Fall <m und somit ist auch r<m. Aber daraus kann man doch nicht den Umkehrschluss des obigen Satzes ableiten und sagen, dass alle Zeilen deshalb automatisch linear abhängig sind?

Nehmen wir z.B. die zwei Gleichungen

1x + 8y = 19
1x + 3y = 200
2x - 7y = 134

Nach dem Satz sind diese Gleichungen (also die Zeilen) automatisch linear abhängig???

Und das begreif ich eben nicht ganz.

edit:
Die Umkehrung des Satzes, also das aus m>n die lineare Abhängigkeit folt gilt doch nur dann, wenn der Rang r der Koeffizientenmatrix = dem Rang R der Matrix samt Endgliedern ist. Wenn also r=R. Dann sehe ich das ein.
Aber wenn R=r+1 (andere Ränge gibt es ja nicht) dann habe ich ein Gleichungssystem mit widersprüchlichen Gleichungen und somit auch keine lineare Abhängigkeit.
Oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Determinante r-ter Ordnung?

Der Zeilenrang einer Matrix ist die lineare Hülle der Zeilen der Matrix, also die Anzahl linear unabhängiger Zeilen und es gilt Zeilenrang=Spaltenrang=Rang

Betrachten wir nun eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, es reicht, wenn wir den Zeilenrang betrachten. m>n bedeutet, dass wir mehr Zeilen haben als Spalten, die Zeilenvektoren spannen einen Raum auf, dessen maximale Dimension m ist, da wir mehr jedoch mehr als m Zeilen haben, sind die Vektoren linear abhängig.

Nehmen wir dein Beipiel, die Zeilenvektoren haben zwei Einträge, der Zeilenraum ist also ein Unterraum des R². Wenn man den R² aufspannen möchte benötigt man aber nur zwei linear unabhängige Vektoren, wir haben aber 3 Zeilen, das bedeutet, dass mindestens ein Zeilenvektor darstellbar ist als Linearkombination der anderen beiden.
Der Zeilenraum kann auch die Dimension 1 haben, was bedeutet, dass alle Zeilenvektoren als Vielfaches einer Zeile dargestellt werden können.

Die Umkehrung, dass eine Matrix mit n>m linear unabhängige Zeilen hat stimmt nicht, wie man anhand einfacher Beispiele zeigen kann.
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