Fubini bei Lebesgueintegral "Gegenbeispiel"

17.03.2011, 18:09

arctan

Fubini bei Lebesgueintegral "Gegenbeispiel"

Meine Frage:
Hallo,
wir haben das Lebesgueintegral eingeführt und Fubini bewiesen.
Nun steht im Script weiter ein Bsp., wo Fubini nicht gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]^2} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y) \end{eqnarray*}$

Nun werden da die iterierten Intervalle berechnet und es zeigt sich:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy \right] dx = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left[ \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx \right] dy = -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Warum versagt Fubini hier?

Meine Ideen:
Ich sehe aber erstmal keinen Grund warum die Funktion nicht integrierbar sein sollte. Allerdings habe ich auch keine Majorante gefunden (habe $\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]^2} \frac{1}{x^2+y^2} d(x,y) \end{eqnarray*}$ ausprobiert).
Meßbar wird sie doch sein.
Wüsste (außer eine Minorante zu finden, die ich nicht gefunden habe) auch keine Möglichkeit die Integrierbarkeit zu widerlegen.

17.03.2011, 19:30

gonnabphd

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Hi,

Edit: Musste vorhin schnell weg, und hatte deshalb noch ein, zwei Fehler übersehen - dürften jetzt korrigiert sein...

Du kannst den Integrationsbereich einschränken auf $\begin{eqnarray*} B = \{(x,y) \in [0,1]^2: x\ge 0, \frac 12 x \ge y \ge \frac 12 x\} \end{eqnarray*}$ und dann ein paar einfache Abschätzungen vornehmen.

Falls ich keinen Fehler gemacht habe, kommt da dann schon $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ raus.

Gruss Wink

Zitat:

Ich sehe aber erstmal keinen Grund warum die Funktion nicht integrierbar sein sollte. Allerdings habe ich auch keine Majorante gefunden (habe $\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]^2} \frac{1}{x^2+y^2} d(x,y) \end{eqnarray*}$ ausprobiert).

Da die beiden iterierten Integrale nicht gleich sind, kann die Funktion doch gar nicht integrierbar sein (wegen Fubini)... Und, dass Fubini falsch ist, davon wirst du hoffentlich nicht ausgehen, oder? (wäre eine ziemliche Beleidigung an alle Mathematiker, wenn du davon augehen würdest, dass das in dieser langen Zeit seit Fubini noch niemand herausgefunden hätte!)

17.03.2011, 20:45

arctan

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RE: Fubini bei Lebesgueintegral "Gegenbeispiel"

Zitat:

Original von arctan
Ich sehe aber erstmal keinen Grund warum die Funktion nicht integrierbar sein sollte.

Ok, da habe ich mich wirklich ungeschickt ausgedrückt!
Sah keinen Grund, außer natürlich, dass Fubini nicht stimmt.
Finde es ist auf den ersten Blick (ohne die Integrale zu berechnen) halt nicht total klar, dass die Fkt. nicht integrierbar ist.

Ich versuche mich jedenfalls mal an deinem Vorschlag, danke dafür.

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