Quadratische Gleichung

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17.03.2011, 18:29	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung Meine Frage: Hallo ich habe folgende Gleichung und frage mich ob man die nach r auflösen kann? 0=r²+r+300/r-90 Meine Ideen: Ich weiß nicht wie ich auf r kommen kann:
17.03.2011, 18:31	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung Bitte setz erstmal Klammern, so kann man nur mutmaßen. hangman
17.03.2011, 18:43	IHC	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung diese Funktion ist doch gemeint oder? $\begin{eqnarray} 0=r^{2}+r+\frac{300}{r}-90 \end{eqnarray}$
17.03.2011, 18:51	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung ja die gleichung mein ich
17.03.2011, 19:02	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung Wie wäre es, wenn du die Gleichung mit r multiplizierst? Dann siehst du auch, dass es keine quadratische Gleichung ist.
17.03.2011, 19:07	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung ja das hatte ich auch schon gemacht doch ab dann dachte ich das ich alles falsch gemacht hätte. kann man diese gleichung überhaupt lösen die gleichung mit r multiplizeirt = 0=r³+r²+300-90r
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17.03.2011, 19:15	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung Zeichnerisch sieht das so aus: Rot ist die ursprüngliche Gleichung, grün die erweiterte. Du siehst, an den Nullstellen ändert sich nichts. Lösbar ist eine solche Gleichung, indem du die erste Nullstelle rätst und für die anderen eine Polynomdivision durchführst. Die erste Nullstelle kann man aus dem Graphen ablesen, du solltest aber trotzdem durchrechnen, ob sie tatsächlich stimmt.
17.03.2011, 19:21	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung also ich erkenne aus dem diagramm, dass die gleichung existiert den rest hab ich leider nicht verstanden wie soll man hier raten und dann rechnen. Ich hatte leider noch nie eine Gleichung mit einer Variabel und hoch drei Vielleicht hilft es wenn ich sage wie ich auf die gleichung komme und zwar hatten wir den geraden kreiskegel mit V = 314,2dm³ und Ao = 282,7 dm² gegeben und sollten r,s,h und Am und Ag berechnen. Ich bin über einsetzen von Formel zu Formel zu dieser gleichung gekommen.
17.03.2011, 19:23	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung In welche Klasse gehst du denn? Und in welchem Zusammenhang rechnest du die Aufgabe? Wo kommt die Gleichung her? Es wäre gut, wenn du mir das sagen würdest, denn vielleicht liegt schon vorher ein Fehler vor.
17.03.2011, 19:25	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung Ich habe meinen vorhergehenden Beitrag editiert
17.03.2011, 19:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung Ich weiß nun nicht, welchen Weg du da gegangen bist, aber ich denke, wenn es richtig ist, dann ist 5 die Lösung, die du suchst. Allerdings hast du da einen fürchterlichen Umweg gewählt. Du kannst ja bei beiden Gleichungen zunächst durch pi teilen, dann multiplizierst du die Volumengleichung noch mit 3. Es bleiben 2 Gleichungen mit den Variablen r, h und s. Netterweise gibt es mit dem Pythagoras eine Möglichkeit, eine Beziehung zwischen diesen 3 Variablen herzustellen, so dass du eine der Variablen (z.B. s) ersetzen kannst. Dann wird die Sache lösbar. Ich denke, du solltest diesen Weg gehen, denn es muss ja nachvollziehbar bleiben, was du rechnest.
17.03.2011, 19:45	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe denke ich es so gemacht wie du es meinst. Für die Volumenformel 314,2 =(pi * r²h)/3 umgestellt habe ich 300/r² = h Satz des pythagoras s²= r² +h² eingesetzt s= $\begin{eqnarray} \sqrt{r^2 + \frac{90 000 }{r^4} } \end{eqnarray}$ Oberflächeninhalt 282,7 = pir² + pirs / pi 90 = r² + r* $\begin{eqnarray} \sqrt{r^2 + \frac{90 000 }{r^4} } \end{eqnarray}$ und dann nach dieser gleichung $\begin{eqnarray} 0=r^{2}+r+\frac{300}{r}-90 \end{eqnarray}$
17.03.2011, 19:50	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bis zu der vorletzten Zeile bin ich gerade auch gekommen. Allerdings hast du dann einen Fehler gemacht. Du musst beachten, dass du beim Quadrieren die erste binom. Formel verwenden musst. Die von dir angegebene Gleichung 0=r²+r+300/r-90 erhalten wir also gar nicht. Allerdings: Es wird alles leider noch viel unschöner, als es schon ist. Du hast eine Wurzelgleichung vorliegen, die du umstellen und dann ein zweites Mal quadrieren musst. Das ist eine recht schwere Aufgabe für eine Körperberechnung...
17.03.2011, 19:58	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok aber das ist der weg den du meintest oder? Und kann ich nicht einfach alles hoch zwei rechnen dann müsste das Qurzelzeichenweg sein oder gibt es einen einfacheren weg bin am verzweifeln
17.03.2011, 20:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann versuchen, die Variablen anders zu ersetzen. Ich habe da jetzt auch einen fürchterlichen Bandwurm errechnet und überlege, ob man das auch einfacher machen kann....
17.03.2011, 20:10	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben ja die Gleichungen: 300 = r²·h 90 = r² + r·s s² = r² + h² Jetzt mache ich mal folgendes: Ich löse die erste Gleichung nach h auf und die zweite Gleichung nach s. Dann setze ich die beiden in die dritte Gleichung ein. Das sollte einfacher sein.
17.03.2011, 20:19	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme dann aber auf -180r^4 +8100 r² = 90 000 ist das soweit richtig?
17.03.2011, 20:28	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann nicht stimmen. Die Rechnung führt auf eine biquadratische Gleichung, ich bin aber noch nicht ganz fertig. Als Ausgangsgleichung haben wir ja: $\begin{eqnarray} 300 = r²\cdot h~ \Rightarrow ~ h = \frac{300}{r^2}~\Rightarrow ~h^2 = \frac{90000}{r^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 90 = r² + r\cdot s ~\Rightarrow ~s = \frac{90-r^2}{r} ~\Rightarrow ~ s^2= \frac{8100-180r^2+r^4}{r^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s² = r² + h² \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} \frac{8100-180r^2+r^4}{r^2}= r^2 + \frac{90000}{r^4} \end{eqnarray}$
17.03.2011, 20:34	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eine Frage und zwar wenn man bei 90 = r² +rs ist und dort durch r teilt hat man dann nicht 90/r =r+1s = 90/r = r+s dann minus r und dann habe ich s= (90/r)-r oder habe ich einen Fehler?
17.03.2011, 20:41	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du denkst richtig. Du hast aber etws nicht erkannt: Es ist das Gleiche. $\begin{eqnarray} \frac{90}{r}-r = \frac{90}{r} -\frac{r^2}{r} = \frac{90-r^2}{r} \end{eqnarray}$
17.03.2011, 20:43	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso damit man den bruchstrich unter beide ziehen kann. Das hatte ich dann überlesen
17.03.2011, 20:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommst du nun weiter mit der Rechnung? Man erhält interessanterweise 2 mögliche Ergebnisse.
17.03.2011, 20:51	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf 90r² - 13,42r³ + r²*Wurzel (r) = r^4 +300 ist das der richtige weg?
17.03.2011, 20:54	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da musst du einen Fehler gemacht haben. Welches war denn dein erster Schritt?
17.03.2011, 20:56	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hab den Fehler gefunden also das neue ist 90r - 13,42r²+r*wurzel(r) = r³+300 der erste schritt war mal r² und dann wurzelziehen und dann mal r
17.03.2011, 20:58	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Malnehmen mit r² ist richtig, allerdings solltest du dann keine Wurzel ziehen. Vielmehr kannst du dann auf beiden Seiten der Gleichung r^4 rausstreichen. Dann wird nochmal mit r² malgenommen.
17.03.2011, 21:02	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das hab ich nun geschafft ich komme auf die Gleichung 8100r² -180r^4 =90 000
17.03.2011, 21:08	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Nun klug teilen und du erhältst eine biquadratische Gleichung. Dann musst du substituieren und bist schon fast fertig.
17.03.2011, 21:15	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme irgendwie nicht weiter weil wenn ich alles auf eine Gleichungsseite bringe kann ich keine Wurzel ziehen wegen den negativen Werten kannst du mir bitte etwas weiter helfen
17.03.2011, 21:20	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
8100r² -180r^4 =90 000 \| : (-180) -45r² + r^4 = -500
17.03.2011, 21:24	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich durch r² teile habe ich den im Nenner des Bruchs 500 Wie soll man das lösen?
17.03.2011, 21:26	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst substituieren. 0 = r^4 - 45r² + 500 Jetzt setze z = r². 0 = z² - 45z + 500
17.03.2011, 21:30	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist die Frage unklug aber heißt das mein ergebnis z entspricht dem quadrat von r ,weil ich kannte das noch nicht
17.03.2011, 21:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es nicht kanntest, dann ist die Frage keineswegs unklug. Das ist ein Standardvorgehen bei biquadratischen Gleichungen. Man ersetzt ein r² (oder x²) durch z und erhält dann eine einfache quadratische Gleichung, die mit pq-Formel lösbar ist. Seltsam, dass du sowas rechnen musst, ohne die Methode zu kennen.... edit: Ja, denn z = r². Du musst also noch die Wurzel ziehen. Beachte, dass du theoretisch 4 Lösungen erhältst.
17.03.2011, 21:34	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe als ergebnis 25 und 20 raus und mein Endergebnis für r ist demzufolge einmal 625 und 400 Ich weiß auch nicht warum wir so eine schwere Aufgabe aufbekommen haben, die andern waren ja nicht so schwer , aber die..
17.03.2011, 21:37	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, 25 und 20 ist schon mal richtig. Und das sind jeweils Ergebnisse für r² ....
17.03.2011, 21:40	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich noch s und h usw weiter berechnen will muss ich die werte 25 und 20 nehmen oder 625 und 400
17.03.2011, 21:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst aus 25 und 20 jeweils die Wurzel ziehen. Dann erhältst du 4 Werte für r. Achte auf die Vorzeichen.
17.03.2011, 21:47	conan01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja weil man ja den Betrag erhält beim Wurzelziehen. Aber man kann doch nur 5 und 4,5 benutzen da es keine negative Radien gibt. Ich möchte mich bei dir sulo nochmal herzlich bedanken dafür, dass du mir das so sehr gut und verständlich erklärt hast. Dankeschön
17.03.2011, 21:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. War ja eine etwas schwerere Geburt, da es nicht von Anfang an klar war, welche Gleichung am schnellsten zum Erfolg führt. Ach ja, 4,47 cm ist etwas genauer für den zweiten Wert.

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