Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³

17.03.2011, 19:55

michael-

Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³

So gestern Analysis heute Geo :P

Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³
Ist die erste Aufgabe die ich lösen will und ich checks wirklich gar nicht, im Internet stoße ich immer auf andere Regeln als unser Lehrer kurz angesprochen hat. War aber ganz am Ende der Stunde vor drei Tagen also hab ich gar keinen Plan mehr wie er vorgehen wollte Augenzwinkern

Geg.: Ebene E: $\begin{eqnarray*} 3x_{1}-2x_{2}+6x_{3}-57=0 \end{eqnarray*}$
P(11;2;21)

Ges.: Abstand zwischen Ebene E und Punkt P

Lös.:
1. Er hat gemeint erst sollen wir die Lotgerade aufstellen?! Warum eigentlich?

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 11 \\ 2 \\ 21 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalvektor ist: $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sodala, jetzt weiß ich nicht mehr weiter... Tipp? Lösungsvorschlag?

mfg
Michael

17.03.2011, 19:58

lgrizu

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RE: Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³
Nun berechne den Durchstoßpunkt der Lotgeraden durch die Ebene.

17.03.2011, 19:58

Dopap

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RE: Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³
wenn du nicht nachdenken willst, dann bringe die Koordinatengleichung auf die Hessesche Normalenform. Bekannt?

17.03.2011, 20:06

michael-

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RE: Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³

Zitat:

Original von lgrizu
Nun berechne den Durchstoßpunkt der Lotgeraden durch die Ebene.

Durchstoßpunkt = Lotfußpunkt?

Hätte ich auch schon probiert, aber ich kenne keine Formel dafür?!
Danach könnte ich ja einfach Spitze-Fuß rechnen und den Betrag davon nehmen.
Brauche ich nicht erst das Lambda?

@Dopap
Nicht bekannt, kann ich später googeln, aber ich denke ich muss diesen Weg auch verstehen!

17.03.2011, 20:10

lgrizu

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RE: Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³
Die Ebene und die Gerade haben einen gemeinsamen Punkt, diesen kann man berechnen, indem man die Ebene in Parameterform angibt und die Ebene und die Gerade gleichsetzt, man kann die Gerade in die Ebene einsetzen und das Parameter der Gerade bestimmen, es gibt einige Möglichkeiten.

17.03.2011, 20:20

michael-

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3(11+3\lambda )-2(2-2\lambda )+6(21+6\lambda )-57=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda =-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{PL}|= |\lambda \vec{n}| = 2|\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} | = 14 \end{eqnarray*}$

Stimmt mein Ergebnis? Hättest du es genau so gelöst oder gibt es eine schönere bzw. einfachere Methode?

Edit: Lambda -2 nicht 2
Deshalb Betrag von 14 und nicht 14

17.03.2011, 20:31

lgrizu

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Das Ergebnis ist richtig, Lösungsweg korrekt.

Wieso denn noch einfacher?

17.03.2011, 20:33

michael-

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Ok passt, jetzt kapier ichs smile

Dankeschön!

17.03.2011, 20:42

Dopap

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@ Igrizu: in Baden Württemberg ist die Hessesche Normalenform Standard.

17.03.2011, 20:47

lgrizu

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Wenn man die Hessesche Normalenform anwendet hätte der Lehrer nicht darauf bestehen müssen, zuerst die Lotgerade zu der Ebene durch den Punkt P zu bestimmen.

Desweitern spart man sich, den Normalenvektor zu normieren.

18.03.2011, 01:46

mYthos

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Zitat:

Original von lgrizu
Wenn man die Hessesche Normalenform anwendet hätte der Lehrer nicht darauf bestehen müssen, zuerst die Lotgerade zu der Ebene durch den Punkt P zu bestimmen.

Desweitern spart man sich, den Normalenvektor zu normieren.

Nein, das nicht. Auch bei der Hesse'schen Normalform muss selbstverständlich die Norm des Normalvektors bestimmt werden. Gerade dies ist für die HNF kennzeichnend.

mY+

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