transponierte/duale abbildung

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
transponierte/duale abbildung
hallo nochmal

hab hier ne aufgabe bei der ich einfach keinen ansatz finde. bin leider auch überhaupt nicht im thema drin -.-

also: V,W sind endl-dim Vektorräume. eine lineare Abbildung und die transponierte Abbildung.

Zu zeigen ist: f surjektiv -> f^T injektiv

Hab leider wieder alles über diese dualen Abbildungen vergessen -.-
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Erinnerung:
Sei der Grundkörper. Der Dualraum besteht aus allen Homomorphismen in den Grundkörper. Für ist . Die Idee dabei ist, dass durch zu einer Abbildung, die von ausgeht, "zurückgezogen" wird. Mal Dir zur Veranschaulichung am besten ein Diagramm aller genannten Abbildungen und der jeweiligen Kompositionen.

Zur Aufgabe:
Was genügt denn, um die Injektivität der linearen Abbildung zu zeigen?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

am einfachsten ist wohl zu zeigen, dass der kern nur aus der null besteht???

achja, diagramm... vielleicht so? :

V ---- f --> W
..\................l
....\..............l
.......\...........l phi
phi*f....\.......l
.............\.....l
................\..v
..................K

geht leider net anders zu zeichnen hier =)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Augenzwinkern Was heißt das nun unserem Falle ausgeschrieben?

Edit: Genau so sieht das Diagramm aus. Freude Daraus wird vielleicht auch ersichtlich, warum man gelegentlich Pullback-Abbildung nennt.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

nur für ?
Also nur für Nullabbildungen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt, wobei der Singular "Nullabbildung" besser wäre. Augenzwinkern Wie können wir nun schließen, dass tatsächlich die Nulabbildung ist?
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.... jaaaa.... weiß nich ^^ sry
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist doch gut vorangekommen. Wir haben , d.h. für alle . Wie lässt sich diese Erkenntnis noch schreiben?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

sry stehe grad aufm schlauch ^^ wann kommt denn die surjektivität ins spiel???
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Surjektivität kommt gleich ins Spiel. Augenzwinkern Was können wir denn über die Elemente sagen?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also weil f surjektiv ist, wird auf jedes element von W abgebildet.

edit: Kann man dann sagen, dass phi aus jedem element aus W Null macht und es deswegen die Nullabbildung sein muss????
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo. smile In Formeln kann man das noch so formulieren: bedeutet für alle , insgesamt also . Da surjektiv ist, gilt , also , d.h. .
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank, du warst mir echt ne große hilfe.

ich werde die nächsten tage bestimmt noch mehr fragen haben ^^ schreibe am dienstag die la wdh-klausur und hatte jetzt ein semester lang kein la... das merkt man =)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Dann wünsche ich Dir auf jeden Fall schonmal viel Erfolg. Wink
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