Kompositionsreihe

17.03.2011, 21:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompositionsreihe Zu zeigen: Jede abelsche Gruppe G, die eine Kompositionsreihe besitzt, ist endlich. Idee: Die Kompositionsreihe sei $\begin{eqnarray} (G_0,...,G_r) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G_0=\{e\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_r=G \end{eqnarray}$ . Da es sich um eine Kompositionsreihe handelt, gilt $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ ist maximales Normalteiler in $\begin{eqnarray} G_{i+1} \end{eqnarray}$ . Daher ist die Faktorgruppe $\begin{eqnarray} G_{i+1}/G_i \end{eqnarray}$ einfach (hat nur die trivialen) Normalteiler. Da G abelsch ist, sind die Faktorgruppen auch abelsch. Wenn die Faktorgruppen endlich wären, so hätten die Primzahlordnung und die Ordnung von G wäre als Produkt der Ordnungen der Faktoren auch endlich. Frage: Warum sind die Faktorgruppen endlich? Sie sind abelsch. Sei f in der Faktorgruppe ungleich e.. Dann ist <f> eine Untergruppe der Faktorgruppe, also ein Normalteiler. Da <f> nicht {e} ist, muss dann <f>=F sein, also ist F zyklisch., da F einfach ist. Weiter folgt dann wegen der Einfachheit, dass F endlich sein muss, da F ansonsten isomorph zu Z wäre und das ist keine einfache Gruppe.
17.03.2011, 21:57	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die abelschen einfachen Gruppen sind genau die Gruppen von Primzahlordnung.
17.03.2011, 22:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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