Berührpunkt durch pq-Formel

17.03.2011, 21:34

Berührpunkt durch pq-Formel

Hallo!

Heute in der Schule haben wir die Hausaufgaben geprüft und obwohl der Lehrer die Aufgabe anders gelöst hat als ich, sind die Ergebnisse identisch. Als ich ihm mein Verfahren präsentiert habe, hat er gesagt, dass das nur Zufall ist und das mein Lösungsweg falsch ist. Ich bin aber immer noch der Meinung, dass es richtig ist. Deswegen frage ich euch.

Aufgabe:
Alle Geraden, die durch denselben Punkt verlaufen, bilden ein so genanntes Geradenbüschel. Geben Sie die Gleichung eines Geradenbüschels an, dessen Geraden alle durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(0;4) \end{eqnarray*}$ verlaufen. Welche dieser Geraden berühren das Schaubild der Parabel $\begin{eqnarray*} y=-x^{2}+2x \end{eqnarray*}$ ?

Mein Lösungsweg:
Für den Geradenbüschel gilt $\begin{eqnarray*} y=mx+c \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} P(0;4)\rightarrow c=4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y_{1}=mx+4 \end{eqnarray*}$ .
Für die gemeinsamen Punkte (bzw. für den gemeinsamen Punkt) von beiden Funktionen setze ich sie gleich. $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ sei die Gleichung der Kurve.
$\begin{eqnarray*} y_{1}=y_{2} \rightarrow mx+4=-x^{2}+2x\\0=x^{2}+(m-2)x+4\\x_{1,2}=\frac{m-2}{2}\pm \sqrt {(\frac {m-2}{2})^{2}-4} \end{eqnarray*}$

Hier kommt das Problem: Ich will die Diskriminante gleich 0 setzen.
Mein Lehrer meint, dass man das nicht darf, weil es ja 2 Geraden gibt; also muss es 2 Berührstellen und somit 2 x-Stellen geben.

Ich habe es aber gemacht, mit der (zugegeben schwachen) Begründung, dass es ja (obwohl es 2 Geraden sind) je nur einen Berührpunkt gibt! Also hab ich sie gleich 0 gesetzt; dann kommen die Lösungen $\begin{eqnarray*} m_{1}=-2;m_{2}=6 \end{eqnarray*}$ raus, also die Geraden $\begin{eqnarray*} g(x)=-2x+4; h(x)=6x+4 \end{eqnarray*}$ .

Das Verfahren meines Lehrers:
Er setzt die Funktionen auch gleich, löst aber die Gleichung nicht sondern setzt die Ableitungen der Funktionen an dem Berührpunkt (u;f(u)) gleich und hat somit ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen. In der "Ableitungsgleichung" (2. Gleichung) isoliert er m und setzt es in die 1. Gleichung ein. Dann kriegt er die 2 Berührstellen, setzt sie in m ein und hat die oben genannten Geraden.

Lange Rede, kurzer Sinn: Ist mein Verfahren falsch und ist die Lösung nur zufällig richtig?

17.03.2011, 21:50

tigerbine

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel

Nun kann man schon mit der Diskriminante arbeiten. Schauen wir uns die beiden Teilplots an.

Wir sehen doppelte Nullstellen! Die Lösungsformel hängt hier ja noch von m ab. Und je m wollen wir genau ein x.

$\begin{eqnarray*} x^{2}+(m-2)x+4=0<br /> D=(\frac {m-2}{2})^{2}-4 \end{eqnarray*}$

Zu lösen ist also:
$\begin{eqnarray*} 0=(\frac {m-2}{2})^{2}-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4=(\frac {m-2}{2})^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=|\frac {m-2}{2}| \end{eqnarray*}$

Und damit kommst du dann auf die beiden Lösungen m=6 und m=-2. Der Ansatz ist mMn nicht falsch.

17.03.2011, 23:17

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel
Super! Vielen vielen Dank für deine tolle Antwort!

Zitat:

Original von tigerbine
Die Lösungsformel hängt hier ja noch von m ab.

Das sieht man ja auch wunderbar an deinen Teilplots! Spitze!
Also auch, wenn die Diskriminante 0 ist, gibt es Dank dem m trotzdem x1 und x2, oder? Und ich glaub das ist der Knackpunkt, den er nicht verstanden hat.

17.03.2011, 23:25

tigerbine

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel

Zitat:

Also auch, wenn die Diskriminante 0 ist, gibt es Dank dem m trotzdem x1 und x2, oder? Und ich glaub das ist der Knackpunkt, den er nicht verstanden hat.

Dass wir das Problem in Abhängigkeit von einem Parameter m lösen, ändert ja nichts an der Richtigkeit der Grundidee. Der Schnittpunkt von Gerade und Parabel muss ein "Doppelter" Schnittpunkt, also Berührpunkt sein.

Die Freiheiten entstehen im m, und nicht im +/- der Lösungsformel. Und dieser Freiehtsgrad taucht in ()² auf, was uns dann eben 2 Lösungen liefert. Man muss sie nun nicht x1, x2 nennen - wie du das schon bei der Lösungsformel getan hast und ihn vielleicht verwirrt hast. Aber am Ende sind es Namen.

17.03.2011, 23:41

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel
aaaah! logisch!!

Durch m² gibt es 2 m-Werte; für jedes m gibt es je eine doppelte Nullstelle, macht also insgesammt 4 x-Werte, von denen je 2 identisch sind.

Ich bitte um Verbesserung falls ich es wieder nicht verstanden haben sollte...^^

17.03.2011, 23:44

tigerbine

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel
Es steht nicht m² da, sondern das m steht in einer ()² Klammer.

$\begin{eqnarray*} 4=(\frac {m-2}{2})^{2} \end{eqnarray*}$

Beim Auflösen der quadratischen Gleichung ergeben sich hier 2 Lösungen für m.

$\begin{eqnarray*} 2=|\frac {m-2}{2}| \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 23:51

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RE: Berührpunkt durch pq-Formel
okay, jetzt ist alles klar. Natürlich muss ich die Gleichung mit m lösen und kann nicht einfach m² schreiben! Oje wie peinlich...

Vielen Dank du hast mir sehr geholfen!! Gute Nacht!

17.03.2011, 23:53

tigerbine

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Gute Nacht. Lehrer nun aber nicht rund machen, sondern in Ruhe Alternative besprechen. Augenzwinkern

18.03.2011, 00:09

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Mach ich

Ich spreche ihn wahrscheinlich gar nicht erst an, mir reicht es schon zu wissen, dass ich recht hatte...ja ich weiß... Lehrer können sich auch mal irren, aber es ist doch schon ein gutes Gefühl^^

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