Fläche Dreieck mittels Determinantenrechnung

17.03.2011, 22:18

HansimGlück

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Fläche Dreieck mittels Determinantenrechnung

Erneut ein Übungsbeispiel, bei welchem ich bitte Hilfe benötige.

a) Berechnen Sie (mittels Determinantenberechnung) die Fläche des Dreiecks mit Eckpunkten (2,1), (-1,-3) und (3,1).

b) Seien f(x,y)=2yx und g(x,y)=x^2+y^2. Skizzieren Sie das Bild der Gerade, welche die Punkte (1,0) und (2,1) verbindet unter der Abbildung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Funktionaldeterminante von f und g an der Stelle (a,b)

Ich brauche bitte die Ansätze, womit soll ich beginnen? Was ist zu machen?

Danke im Voraus!

17.03.2011, 22:51

lgrizu

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RE: Fläche Dreieck mittels Determinantenrechnung
Der Betrag der Determinate ist die Fläche des von den Vektoren eingeschlossenen Spats.

Zwei Vektoren im R² schließen ein Parallelogramm ein, die Diagonale des Parallelogramms teil dieses in zwei flächengleiche Dreiecke.

Welche Vektoren schließen hier das gesuchte Paralleogramm ein?

18.03.2011, 17:42

HansimGlück

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zu a)

Habe mir unter http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che den Teil "Berechnung mit Koordinaten" durchgelesen und die Formel

$\begin{eqnarray*} F=\frac{1}{2} \left| \det \left(\begin{matrix} 1&x_1&y_1 \\ 1&x_2&y_2 \\ 1&x_3&y_3 \end{matrix} \right)\right| \end{eqnarray*}$

und habe als Ergebnis für die Fläche des Dreiecks 2 erhalten.

So, nun habe ich aber auch noch die andere Formel:
$\begin{eqnarray*} = \tfrac{1}{2}\left|\det \left ( \begin{matrix} x_2 -x_1&x_3-x_1 \\ y_2-y_1&y_3-y_1 \end{matrix}\right)\right| \end{eqnarray*}$

ausprobiert, wobei ich Punkt A auf (0,0) gesetzt habe.

Als Fläche des Dreiecks ist mir 4 herausgekommen.

Sollten beide Formeln nicht das gleiche Ergebnis liefern?

18.03.2011, 17:46

Leopold

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Zitat:

Original von HansimGlück
Sollten beide Formeln nicht das gleiche Ergebnis liefern?

In der Tat. Und das tun sie auch.

18.03.2011, 17:50

lgrizu

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Mach mal eins nach dem anderen, welche Vektoren hast du benutzt?

Bei beiden deiner Möglichkeiten handelt es sich um 3-dimensionale Vektoren, es kommt also nicht darauf an, welches Verfahren du verwendest, sondern erst mal, in welcher Dimension wir uns bewegen, dein Dreieck ist im zweidimensionalen.

Man kann das auf den 3-D übertragen, aber auch das sollte man dann richtig machen.

Wieso hast du für A (0,0) angenommen?

Also, welche Vektoren hast du benutzt?

Edit: Der Flächeninhalt ist 2, so viel verrate ich schon mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.03.2011, 17:59

Leopold

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@ lgrizu

Beide Formeln beziehen sich auf das Zweidimensionale. Es geht um die Eckpunkte des Dreiecks: $\begin{eqnarray*} \left( x_1 , y_1 \right), \, \left( x_2 , y_2 \right), \, \left( x_3 , y_3 \right) \end{eqnarray*}$

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18.03.2011, 18:05

lgrizu

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Jap, habs auch gerade gesehen, bin in letzter Zeit ein wenig unkonzentriert... Hammer

Hammer

18.03.2011, 18:12

Leopold

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Wobei man zugeben muß, daß die erste Darstellung verführerisch ist. Aber manchmal ist halt 2 mal 3 doch nicht dasselbe wie 3 mal 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.03.2011, 18:26

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} = \tfrac{1}{2}\left|\det \left ( \begin{matrix} x_2 -x_1&x_3-x_1 \\ y_2-y_1&y_3-y_1 \end{matrix}\right)\right| \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier einen Punkt nicht durch (0,0) ersetze (wie auf Wiipedia beschrieben) erhalten ich als Fläche 2.

Ist das nun ein Zufall? Und hätte ich eigentlich einen Punkt durch (0,0) ersetzen sollen? Wenn ja, ist es beliebig, welchen Punkt ich ersetze? (Habe es eben ausprobiert, es kommen verschiedene Ergebnisse raus...?)

Danke euch beiden!

18.03.2011, 18:29

Leopold

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Die x-e sind die x-Koordinaten der drei Punkte, die y's die y-Koordinaten. Der Ursprung hat da nichts verloren.

18.03.2011, 18:33

lgrizu

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Wir nehmen einmal ganz allgemein ein Dreick mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1 \\y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} x_2 \\y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} x_3 \\y_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun berechnen wir die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\y_2-y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC}=\begin{pmatrix} x_3-x_1 \\y_3-y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Vektoren schreiben wir in eine Matrix und berechnen die Hälfte der Determinante, das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix}x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Edit: @Leopold: Sorry, hab nicht drauf geachtet, ob du noch online bist....

18.03.2011, 18:52

HansimGlück

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Danke, hab mich dann wohl von "Verschiebt man das Dreieck so, dass P1 auf dem Nullpunkt liegt, so ergibt sich:" verwirren lassen.

Ich versuch mal b) und erlaube mir, mich wieder zu melden bei Frage.

Vielen Dank!

18.03.2011, 23:32

HansimGlück

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So, hab jetzt einiges gelesen, bin aber leider nicht schlauer geworden hinsichtlich Aufgabe b).

Ich weiß nicht, wo ich die Punkte (1,0) und (2,1) ansetzen soll bzw auch nicht genau, wie ich mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

umgehe.

Bedanke mich im Voraus für jede Hilfe!

19.03.2011, 14:37

lgrizu

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Deine Abbildung ist eine Abbildung vom R² in den R², also ein Vektor, (x,y) wird abgebildet auf den Vektor (f(x,y),g(x,y)).

Nimm dir doch einfach mal einen beliebigen Vektor und bilde ihn ab, zum Beispiel (1,0), wie schaut das Bild aus?

19.03.2011, 18:59

HansimGlück

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Zitat:

Original von lgrizu
Deine Abbildung ist eine Abbildung vom R² in den R², also ein Vektor, (x,y) wird abgebildet auf den Vektor (f(x,y),g(x,y)).

Nimm dir doch einfach mal einen beliebigen Vektor und bilde ihn ab, zum Beispiel (1,0), wie schaut das Bild aus?

Ah, jetzt versteh ich erst, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Abbildung von R² in R² ist.

Der zu (1,0) abgebildete Vektor ist (0,1)
Der zu (2,1) abgebildete Vektor ist (4,5)

Jakobi-Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_{x}(x,y) & f_{y}(x,y) \\ g_{x}(x,y) & g_{y}(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y& 2x \\ 2x & 2y \end{pmatrix} = 4y^2 - 4x^2 = 4*(y^2-x^2) \end{eqnarray*}$

Funktionsdeterminante für (a,b) ist daher: 4*(b^2-a^2)

Muss zugeben, ich habe mittlerweile eine Lösung zu diesem Beispiel gefunden, daher wars einfach...

19.03.2011, 19:06

lgrizu

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Jap, ist richtig.

19.03.2011, 19:18

HansimGlück

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Danke dir, die Aufgabe selbst war garnicht so schwer.

Bloß die Aufgabenstellung verstehen und umsetzen ... Big Laugh

Big Laugh

22.03.2011, 23:40

Moby

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kleine Frage von mir zu der Sache:

f(x,y)=2yx nach x ableiten... also:

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x,y)=2yx \end{eqnarray*}$

Ergebnis: 2y

g(x,y)=x^2+y^2 nach x ableiten... also:

$\begin{eqnarray*} g_{x}(x,y)=x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$

Ergebnis: 2x

Wieso enfallen denn hier die "y" und im oberen Bsp. nicht?

23.03.2011, 11:08

lgrizu

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Du behandelst y als eine Konstante wenn du nach x ableitest und x als Konstante, wenn du nach y ableitest.

Summanden, die nur y enthalten verschwinden beim Ableiten nach x, Summanden, die sowohl x als auch y enthalten halt nicht.

24.03.2011, 21:16

Moby

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super, vielen Dank smile

smile

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