Linerare Funktionen [Problem]

17.03.2011, 22:42

blackstriker

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Linerare Funktionen [Problem]

Hallo liebes Forum,

mit den linearen Funktionen habe ich leider sehr probleme. Ich hab das gar nicht so richtig verstanden. Ich hab da einige Aufgaben, es wäre nett, wenn sich jemand Zeit nehmen könnte. Wenn es geht, bitte so einfach wie es geht erklären. Vielen DANK!

Erste Aufgabe:

[attach]18672[/attach]

Frage: Welche Geraden stellt eine Funktion dar? Begründen sie ihre Antwort.

Also die diagonale Strecke (2) stellt auf jeden Fall eine Funktion dar. Aber bei 1 und 3 bin ich mir unsicher, aber ich hab mal gehört, das zu jedem X-Wert ein Y-Wert dazu gehört?

DANKE IM VORAUSS! ICH HOFFE JEMAND MELDET SICH

17.03.2011, 22:45

Padarom

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Hallo,
mit deiner Vermutung hast du Recht, jedem x-Wert ist genau ein y-Wert zugeordnet bei einer Funktion.
(Wir haben es so gelernt: "Die Relation ist eine Funktion, wenn auf jeder Parallelen zur y-Achse genau ein Punkt liegt.")
Das heißt also, dass eine Funktion nicht parallel zur y-Achse liegen kann.

Somit sind Gerade 2 und 1 eine Funktion.
3 Allerdings nicht.

Mit freundlichen Grüßen
Padarom

17.03.2011, 22:48

Pascal95

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Man sagt auch:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung; jedem x-Wert wird genau (oder besser: höchstens) ein y-Wert zugewiesen.

Es gibt auch Funktionen wie: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{x} \end{eqnarray*}$ , die bei x=0 nicht definiert ist, da man nicht durch Null teilen darf.

Wenn sie auch noch umgehrbar eindeutig ist (Umkehrzuordung ist eine Funktion; Injektivität), so herrscht eine Bijektion.

17.03.2011, 22:50

blackstriker

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Vielen Dank für die Anwort. Wie schon oben erwähnt habe ich noch mehr Aufgaben, wäre echt super, wenn du mir da auch helfen könntest.

Frage: Geben sie die Gleichung der Geraden 1 und 2 an? Wie soll das gehen? Bitte so simpel wie es geht erklären.

17.03.2011, 22:55

Padarom

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Die Neutralform der Geradengleichung, die du hier brauchst ist y = mx + n
Dabei ist m die Steigung der Geraden und n der y-Achsenabschnitt.

In dem Fall der Geraden 1 wäre n = -1,5 und die Steigung 0.
Also ist hier deine Gleichung y = 0x - 1,5.

Bei Gleichung 2 musst du es exakt genauso machen, nur eben mit den anderen Werten. (Zwischenlösung: m = -2/5)

Mit freundlichen Grüßen
Padarom

17.03.2011, 22:58

blackstriker

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also ist 2 dann:

y= -2x + 5

wird das so aufgeschrieben?

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17.03.2011, 23:06

Padarom

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Nein, n = y wenn x = 0.
Also in deinem Fall hast du ja den Punkt A(0|2) -> Dort schneidet die Gerade die Y-Achse. Nun kannst du noch mit einem Steigungsdreieck arbeiten, wenn du die Steigung wissen möchtest.
[attach]18673[/attach]

Du suchst dir also einen weiteren Punkt (in dem Falle B(5|0)) und schaust dir die Steigung an. Das ist 5 in Richtung der x-Achse und -2 in der y-Achse.
Die Steigung ist dann y/x also -(2/5).

Somit hast du die Gleichung y = -(2/5)x + 2 <=> y = -0,4x + 2.
Ich hoffe das war jetzt einigermaßen verständlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2011, 23:08

blackstriker

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okay, also immer zum Null-Punkt hin? und wie schreibt man das jetzt richtig auf?

17.03.2011, 23:12

Padarom

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Genau, du brauchst um den y-Achsenabschnitt zu sehen den Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse. Der nächste Punkt muss aber nicht zwangsläufig die X-Achse schneiden, ein anderer Punkt würde auch gehen (dann kannst du ja auch mit einem Steigungsdreieck arbeiten).

Aufschreiben tust du es, wie ich es bereits schrieb: $\begin{eqnarray*} y = -\frac{2}{5}x + 2 \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen
Padarom

17.03.2011, 23:15

blackstriker

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alles klar, bis jetzt hab ich alles gecheckt, danke!

Weitere Frage;

die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x) = y = m*x+c
Was gibt c an?

Antwort: Da wo der Y-Abschnitt geschnitten wird, von da aus zum Null-Punkt ist c. oder wie würdest du es beschreibgen?

17.03.2011, 23:17

Pascal95

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Allgemeine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} f(x)=m \cdot x + b \end{eqnarray*}$

Es gibt auch die Möglichkeit, dass nur zwei Punkte gegeben sind:

Zwei-Punkte-Problem:
Steigung wie bereits erwähnt berechnen:
$\begin{eqnarray*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Dann weiter...

Punkt-Steigungs-Problem:
m ist gegeben.
Ein Punkte-Paar ist gegeben.

Bsp.: m=2; P(3;9)
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(3)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9=2*3+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+3 \end{eqnarray*}$ .

Pascal

17.03.2011, 23:18

Padarom

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Genau.
c ist der Y-Achsenabschnitt, also die Y-Koordinate des Punktes der die Y-Achse schneidet (bei Punkt A(0|4) ist diese 4 und A'(0|-4) ist diese natürlich -4).
Darauf musst du bei der Formel allerdings auch immer achten. Wenn c negativ ist, rechnest du natürlich y = mx-c anstatt +

17.03.2011, 23:21

blackstriker

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super, danke! die nächste aufgabe:

Bestimmen sie die Fkt-Gleichungen der Geraden, die durch die Punkte A(4,5/-3) und B (-1/2,5) verläuft. und wie geht das hier?

17.03.2011, 23:22

Pascal95

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Zitat:

Original von blackstriker
Bestimmen sie die Fkt-Gleichungen der Geraden, die durch die Punkte A(4,5/-3) und B (-1/2,5) verläuft. und wie geht das hier?

hier

17.03.2011, 23:23

blackstriker

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Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Original von blackstriker
Bestimmen sie die Fkt-Gleichungen der Geraden, die durch die Punkte A(4,5/-3) und B (-1/2,5) verläuft. und wie geht das hier?

hier

ja, ich komm damit irgendwie nicht so zurecht unglücklich

unglücklich

17.03.2011, 23:28

Pascal95

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Kein Problem smile

smile

Schaun wir uns mal die Punkte an:

A(4.5 | -3)
B(-1 | 2.5)

Jetzt muss man die Steigung der Funktion berechnen.

In der allgemeinen Form $\begin{eqnarray*} m*x+b \end{eqnarray*}$ ist m die Steigung.

In der Grafik oben wurde gezeigt, wie das geht (Steigungsdreieck):

Differenz auf der y-Richtung ( $\begin{eqnarray*} 2.5 - (-3) = 2.5+3 = 5.5 \end{eqnarray*}$ )
Differenz auf der x-Richtung ( $\begin{eqnarray*} -1 - (4.5) = -5.5 \end{eqnarray*}$ )

Steigung m= (Differenz auf der y-Richtung) / (Differenz auf der x-Richtung).

Dann hast du die Steigung: $\begin{eqnarray*} m=-1 \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 23:30

blackstriker

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sorry, habe nix verstanden unglücklich

unglücklich

kannst du es vielleicht etwas einfach erklären? können wir vielleicht diese gleichung nehmen: f(x)= y = m*x+c dann versteh ich es vielleicht.

17.03.2011, 23:44

Pascal95

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Wirst du aus dieser Abbildug schlau?

Es geht erstmal nur darum, die Steigung zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = y = m \cdot x + c \end{eqnarray*}$

[attach]18675[/attach]

17.03.2011, 23:45

blackstriker

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leider nicht. welche formell muss ich verwenden? bitte versuch wenn es geht, etwas einfacher zu erklären unglücklich

unglücklich

17.03.2011, 23:50

Pascal95

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Situation:
Es sind zwei Punkte gegeben.
Gesucht ist die Funktionsgleichung für eine Gerade.

Die Formel heißt: $\begin{eqnarray*} m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$

Dabei sind die Punkte so aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} A(x_1 | y_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(x_2 | y_2) \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel gilt:
A(4.5 | -3)
B(-1 | 2.5)

Also:
$\begin{eqnarray*} x_1 = 4,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1 = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = 2,5 \end{eqnarray*}$

Und damit dann in die Formel.

17.03.2011, 23:54

blackstriker

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also dann so:

2,5 - (-3) / -1 - (+4,5) richtig?

18.03.2011, 00:02

Pascal95

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Genau das!

Man muss bei diesem Aufgabentyp das x1, x2, y1, y2 erkennen.

Besser wäre noch, mit Klammern zu schreiben:
(2,5 - (-3)) / (-1 - (+4,5))

$\begin{eqnarray*} \frac{2,5 - (-3)}{-1 - (+4,5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2,5 + 3}{-1 - 4,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2,5 + 3}{-1 - 4,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{5,5}{-5,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \end{eqnarray*}$

18.03.2011, 00:05

blackstriker

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die steigung beträgt -1? gut Big Laugh

Big Laugh

DANKE!! hab noch paar aufgaben:

A5: Welche der Geraden verlaufen parallel? Begründen sie Ihre Anwort.

f1 (x) = 2x + 7
f2 (x) = -2x -4
f3 (x)= 2x -4

Also ich würde sagen, f1 und f3, weil f2 negativ ist. oder?

18.03.2011, 00:12

Pascal95

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Das ist richtig!

$\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ verlaufen parallel.

Das liegt aber an dem Faktor davor: $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ -> der ist in beiden Fällen identisch.

Dass jetzt bei $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ nur MINUS 2 steht, ist egal.

Merke:
Zwei Geraden verlaufen parallel, wenn ihre Steigung gleich ist.

Wenn der sogenannte y-Achsenabschnitt (also das c bei m*x+c) auch gleich ist, ist ALLES gleich => die Geraden liegen aufeinander.

18.03.2011, 00:15

blackstriker

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Bestimme den Schnittpunkt:

a) A(3/4) B (7/-1)

b) V(4/2) V(-4/-4)

und wie soll das gehen?

18.03.2011, 00:25

Pascal95

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Ich gehe mal davon aus, dass es sich um zwei Aufgaben handelt.

In der Teilaufgabe (a) heißen die Punkte A und B.
In der Teilaufgabe (b) heißen beide Punkte V ?!

Naja, ich gehe mal von folgender Situation aus:

a) A(3/4) B (7/-1)
b) V(4/2) W(-4/-4)

Der Schnittpunkt ist der Punkt, an dem sich Geraden schneiden.

Geraden schneiden sich meistens genau ein mal.
Es kann auch sein, dass sie sich nie schneiden (parallel).
Oder sie liegen auf einenader und sie haben alle Punkte gemeinsam.

Um den Schnittpunkt zu berechnen, berechnet man die sogenannte Schnittstelle (das ist der x-Wert, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben)

Dazu braucht man erst mal eine Funktionsgleichung.

1. Berechne die Steigung (hast du gerade gelernt)
2. Berechne c, also dort wo die Gerade die y-Achse berührt:

zu 2.
Das geht so:

Die Funktion heißt:
f(x)=2x+c

c ist gesucht.

Man kennt ein (oder mehrere) Punktepaar/e.

Setze den ersten Wert im Punktepaar für x ein und den zweiten wert für y

f(x) = y = 2x+c
y= 2x + c

Der Punkt heißt (5|3)

3 = 2*5 + c

Löse auf:

3 = 10+c
c = -7

Setze ein:

f(x)=m*x+c = 2*x-7

Mach das erstmal

18.03.2011, 00:33

blackstriker

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moment also erst mal die steigung berechnen, also so:

-1 -2 / 7 - 3 = -3/4 = -0,75 oder nicht?

18.03.2011, 00:38

Pascal95

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Zitat:

Original von blackstriker
moment also erst mal die steigung berechnen, also so:

-1 -2 / 7 - 3 = -3/4 = -0,75 oder nicht?

Nee, schau dir mal die Aufgabe an:

a) A(3/4) B(7/-1)

x1=3
y1=4

x2=7
y2=-1

Vergess die Klammern nicht!

m (Steigung)
= (y2-y1) / (x2-x1)
= (-1-4) / (7-3)
= -5 / 4

18.03.2011, 00:42

blackstriker

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okay, da hab ich mich vertan. also die steigung (m) ist -5/4, aber was du danach gemacht hast, hab ich nicht verstanden? wieso f(x)=2x+c ?

18.03.2011, 00:51

Pascal95

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Zitat:

Original von blackstriker
wieso f(x)=2x+c ?

Das war ein Beispiel.

Es geht dir darum, den Schnittpunkt zu berechnen.
Dazu braucht man eine Funktionsgleichung.

Diese Funktionsgleichung hat diese Gestalt: $\begin{eqnarray*} f(x)=m*x+c \end{eqnarray*}$

x ist die abhängige Variable (Man setzt für x beliebige Werte ein)
m haben wir berechnet.

Es fehlt nur noch c !

18.03.2011, 00:52

blackstriker

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und was isr x? und wie berechne ich c?

18.03.2011, 01:05

Pascal95

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x ist die Zahl die man immer einsetzt.

Stelle die eine Funktion wie eine Maschine vor:

Die Maschine heißt "f". Man gibt ihr "x" und sie gibt uns "y".

Deswegen nennen wir dieses y, was wir erhalten, auch f in Abhängigkeit von x.
oder kurz: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

---------------

Berechnung von c:

Sowiet ist die Funktiongleichung schon bekannt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{-5}{4} \cdot x + c \end{eqnarray*}$

x soll auch so als "Variable" stehen bleiben
Wir wollen nur c:

Und wir wissen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} f(3)=4 \end{eqnarray*}$ , denn wenn eine Punkt A(x|y) auf einer Funktionskurve "f" (Gerade) liegt, dann gilt f(x)=y.

$\begin{eqnarray*} f(3)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) = \frac{-5}{4} \cdot 3 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-5}{4} \cdot 3 + c = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-5 \cdot 3 }{4} + c = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-15}{4} + c = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 7,75 \end{eqnarray*}$

==> f(x)=-5/4*x +7,75

18.03.2011, 01:11

Pascal95

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Ich geh jetzt erst mal schlafen.

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