Verfeinerung von Normalreihen

17.03.2011, 23:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Verfeinerung von Normalreihen Hallo, generelle Frage, wie geht man vor, wenn man 2 Normalreihen äquivalent verfeinern soll. Ist möglich, nach Satz von Schreier. Der ist auch konstruktiv, aber irgendwie blicke ich da nicht durch. Ziel muss es doch sein, am Ende zwei reihen zu haben, dass die Faktoren beider verfeinerter Reihen bis auf ihre Reihenfolge bzgl. Isomorphie übereinstimmen. Beispiel: (i) $\begin{eqnarray} \mathbb Z \trianglerighteq 15 \mathbb Z \trianglerighteq 60\mathbb Z \trianglerighteq \{0\} \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \mathbb Z \trianglerighteq 12 \mathbb Z \trianglerighteq \{0\} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Also, welche Faktoren haben wir bei (i) $\begin{eqnarray} \mathbb Z /15 \mathbb Z =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 15\mathbb Z /60\mathbb Z \cong \mathbb Z_{4} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 60\mathbb Z / \{0\} \cong 60 \mathbb Z \end{eqnarray}$ und bei (ii) $\begin{eqnarray} \mathbb Z /12 \mathbb Z =\mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 12\mathbb Z / \{0\} \cong 12 \mathbb Z \end{eqnarray}$ Da 60 = 512 würde ich (ii) so verfeinern: $\begin{eqnarray} \mathbb Z \trianglerighteq 12 \mathbb Z \trianglerighteq 60 \mathbb Z \trianglerighteq \{0\} \end{eqnarray}$ Damit hätte ich bei (ii) die neuen Faktoren: $\begin{eqnarray} \mathbb Z /12 \mathbb Z =\mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 12\mathbb Z /60\mathbb Z \cong \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 60\mathbb Z / \{0\} \cong 60 \mathbb Z \end{eqnarray}$ kurz salopp weiter: Aus der "12" kann ich dann die Faktoren "3" "4" machen und bei der "15" dann "3" und "5". Dann passt es am Ende. Frage:* Wie geht man es richtig an?
18.03.2011, 09:52	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sagen wir mal wir haben hier (i) $\begin{eqnarray} G_0 = \mathbb {Z} \trianglerighteq G_1 = 15\mathbb{Z} \trianglerighteq G_2 = 60\mathbb {Z} \trianglerighteq G_3=\{0\} \end{eqnarray}$ und (ii) $\begin{eqnarray} H_0=\mathbb{Z} \trianglerighteq H_1=12\mathbb{Z} \trianglerighteq H_2 = \{0\} \end{eqnarray}$ . Nun definieren wir $\begin{eqnarray} G_{i,j}:=G_i ( G_{i-1} \cap H_j ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_{i,j}:= H_j ( H_{j-1} \cap G_i ) \end{eqnarray}$ (das ist dann in multiplikativer Schreibweise). Dann sind $\begin{eqnarray} G_{1,0} \trianglerighteq G_{1,1} \trianglerighteq G_{1,2} \trianglerighteq ... G_{3,2} \end{eqnarray}$ und entsprechend $\begin{eqnarray} H_{0,1} \trianglerighteq H_{1,1} \trianglerighteq ... H_{2,3} \end{eqnarray}$ Verfeinerungen der Normalreihen mit isomorphen Faktoren bei geeigneter Permutation. Also haben wir hier $\begin{eqnarray} G_{1,0}= 15\mathbb{Z}+(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}, ~ G_{1,1}=15\mathbb{Z} + (\mathbb{Z} \cap 12\mathbb{Z})=3\mathbb{Z}, ~ G_{1,2}=15\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_{2,0}=60\mathbb{Z}+(15\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z})=15\mathbb{Z} , ~ G_{2,1}=60\mathbb{Z} , ~ G_{2,2}=60\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_{3,0}=G_{3,1}=60\mathbb{Z}, ~ G_{3,2}=\{0\} \end{eqnarray}$ . Somit haben wir die erste Reihe verfeinert zu: $\begin{eqnarray} \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 3}_{\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}} \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 15}_{\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}}\underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 15}_0 \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 60}_{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 60}_0 \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 60}_0 \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq 60}_0 \underbrace{\mathbb{Z} \trianglerighteq \{0\}}_{60\mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ Dabei stehen unten an diesen Klammern jeweils die Faktoren. Das wäre die systematische Vorgehensweise aus dem Verfeinerungssatz von Schreier-Zassenhaus. Kannst du diesem Vorgehen entsprechend die zweite Reihe verfeinern?

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