Abgeschlossene Mengen korrigiert Version

17.03.2011, 22:57	Nadia..	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossene Mengen korrigiert Version Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} I \subset R \end{eqnarray}$ ein abgeschlossenes Intervall und $\begin{eqnarray} f : I \to R \end{eqnarray}$ stetig. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} Graph(f) := \{(x; f(x)) \in \mathbb{R}^2\|x \in I\} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. b. Bestimmen Sie den Abschluss der Menge $\begin{eqnarray} M:= \{(x,sin(\frac{1}{x})) \in \mathbb{R}^2 \| x>0\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Z.z zuerst $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ abgeschlossen $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(I) \end{eqnarray}$ abgeschlossen wegen $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ abgeschlossen gilt für $\begin{eqnarray} \forall x_0 \in R\backslash I,existiert \, \, B_\epsilon (x_0) \subset R\backslash I \Rightarrow R\backslash I \, \, ist \, offen \, \, \stackrel{f stetig}{\Rightarrow} B_\epsilon (f(x_0)) \subset R\backslash f(I) \Rightarrow R\backslash f(I) \ \end{eqnarray}$ ist offen. $\begin{eqnarray} \forall x_0 \in R\backslash I \Rightarrow B_\epsilon (f(x_0),x_0) \subset R\backslash I \times f(I) \end{eqnarray}$ ist Offen $\begin{eqnarray} \Rightarrow I \times f(I) \end{eqnarray}$ abgeschlossen . Richtig? $\begin{eqnarray} \overline{M} = \partial M + M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial M = \{0,\pi\} \end{eqnarray}$ Zu b. Wir brauchen noch zwei folgen, die gegen konvergieren,wobei eine ausreicht. Für $\begin{eqnarray} x_n = \frac{1}{\pi n} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_n ,\sin{x_n})_{lim_{n \to \infty}} = \{0,\pi\} \end{eqnarray*}$ Bin ich dann fertig?

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