Stammfunktion von 1/(cos³(x))

18.03.2011, 00:37	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion von 1/(cos³(x)) Hi, brauche Hilfe bei folgendem Integral: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{cos^3(x)} dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Substitution $\begin{eqnarray} t = cos(x) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = -sin(x) \Leftrightarrow dt = -sin(x) dx \Leftrightarrow dx = \frac{dt}{-sin(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{-sin(arccos(t))} dt \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht mal, ob das bis hier richtig ist... wenn ja, weiß ich auch nicht, wie ich weiter machen soll. Bitte um Hilfe! Danke im Voraus.
18.03.2011, 00:45	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion von 1/(cos³(x)) Hmm... so auf Anhieb sehe ich nicht, wie man da nun weiter machen könnte. Wenn ich mal was vorschlagen darf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\cos^3(x)} = \frac{\cos(x)}{\cos^4(x)} = \frac{\cos(x)}{(1-\sin^2(x))^2} \end{eqnarray}$ Wenn man nun sin(x)=z substituiert, müsste man doch mit einer PBZ weiter kommen...
18.03.2011, 01:47	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal, hast mir stark weitergeholfen. Nach der Substitution habe ich folgendes da stehen: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(1-z²)²} dz \end{eqnarray}$ Jetzt die Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(z-1)²(1+z)²} = \frac{A}{(z-1)} + \frac{B}{(z-1)²} + \frac{C}{(1+z)} + \frac{D}{(1+z)²} \end{eqnarray}$ Beide Seiten mit (z-1)²(1+z)² multiplizieren: $\begin{eqnarray} 1 = A(1+z)^2(z-1) + B(1+z)^2 + C(1+z)(z-1)^2 + D(z-1)^2 \end{eqnarray}$ Nach dem Ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} 1 = (A+C)x^3 + (A+B-C+D)x^2 + (2B - 2D - A - C)x + (- A + B + C + D) \end{eqnarray}$ Aus dem entstehenden Gleichungssystem folger ich dann: A = -0,25 B = C = D = 0,25 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{(z-1)²(1+z)²} = \frac{-1}{4(z-1)} + \frac{1}{4(z-1)²} + \frac{1}{4(1+z)} + \frac{1}{4(1+z)²} \end{eqnarray}$ Und dann kann ich ja die Summanden einzeln integrieren...: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(1-z²)²} dz = \int \frac{-1}{4(z-1)} dz + \int \frac{1}{4(z-1)²} dz + \int\frac{1}{4(1+z)}dz + \int\frac{1}{4(1+z)²}dz = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -\frac{1}{4}ln\|z-1\| - \frac{1}{4(z-1)} + \frac{1}{4}ln\|z+1\| - \frac{1}{4(z+1)} \end{eqnarray}$ Und dann noch resubstituieren.. Hab aber jetzt nicht wirklich Lust, das aufzuschreiben... Weiß nicht, ob es richtig ist und ich würde es auch verstehen, wenn du keine Lust hast, da drüber zu schauen. g Auf jeden Fall noch mal ein großes Dankeschön.

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