Banachscher Fixpunktsatz

18.03.2011, 15:20	Nadia..	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz Meine Frage: Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}],\, x \mapsto \pi + \arctan(x) \end{eqnarray}$ genau einen Fixpunkt hat und berechnen Sie diesen numerisch auf zwei Dezimalstellen genau. Meine Ideen: Mit dem Schrankensatz folgt $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{1+x^2}\| \leq \|\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2}\| \,\,\,\, \forall x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow q =\|\frac{1}{1+\frac{\pi}{2}^2}\| \end{eqnarray}$ ,wobei q die Kon.konstante ist. Nun berechne die $\begin{eqnarray} f(c) = c \end{eqnarray}$ dazu $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = \pi + \arctan(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2= \pi + \arctan(x_1) \end{eqnarray}$ . . . $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_n = \pi + \arctan(x_{n-1}) \to 4,5 \end{eqnarray}$ Nun zur Fehlerabschätzung $\begin{eqnarray} (\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } )\|4.5- \pi + \arctan(2)\| = 0.00630 \end{eqnarray*}$ also für n =5 . richtig ?

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